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法律研究如果多項式 $x^2+px+q$ 的零點是 $2x^2-5x-3$ 的零點的兩倍，求 $p$ 和 $q$ 的值。
已知：多項式 $x^2+px+q$ 的零點是 $2x^2-5x-3$ 的零點的兩倍。
要求：求 $p$ 和 $q$ 的值。
解
設 $\alpha$ 和 $\beta$ 是 $2x^2-5x-3$ 的零點。
因此，零點之和 $\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}\ ......\ ( i)$
零點之積 $\alpha\beta=\frac{c}{a}=\frac{-3}{2}\ ......\ ( ii)$。
對於多項式 $x^2+px+q$
零點將是 $2\alpha$ 和 $2\beta$
零點之和 $2\alpha+2\beta=-\frac{p}{1}=-p$
$\Rightarrow 2( \alpha+\beta)=-p$
$\Rightarrow 2times\frac{5}{2}=-p$ [由 $( i)\ \alpha+\beta=\frac{5}{2}$]
$\Rightarrow p=-5$
零點之積 $2\alpha.2\beta=\frac{q}{1}$
$\Rightarrow 4\alpha\beta=q$
$\Rightarrow 4\times( -\frac{3}{2})=q$ [由 $( ii)\ \alpha\beta=\frac{-3}{2}$]
$\Rightarrow q=-6$
因此，$p=-5$ 和 $q=-6$。
更新於： 2022年10月10日
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