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法學如果方程$x^2+x+1=0$的根為$a,\ b$，且方程$x^2+px+q=0$的根為$\frac{a}{b},\ \frac{b}{a}$；則求$p+q$的值。
已知：方程$x^2+x+1=0$的根為$a,\ b$，且方程$x^2+px+q=0$的根為$\frac{a}{b},\ \frac{b}{a}$
求解：求$p+q$的值。
解
已知，方程$x^2+x+1=0$的根為$a$和$b$。
$\therefore$ 根的和，$a+b=-\frac{1}{1}=-1$
根的積，$ab=\frac{1}{1}=1\ .........\ ( i)$
同樣，$\frac{a}{b}$和$\frac{b}{a}$是方程$x^2+px+q=0$的根
$\therefore$ 根的和，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=-p$
根的積，$\frac{a}{b}\times\frac{b}{a}=q$
$\Rightarrow 1=q\ .......\ ( ii)$
現在，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=-p$
$\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{ab}=-p$
$\Rightarrow \frac{(a+b)^2-2ab}{ab}=-p$
$\Rightarrow \frac{( -1)^2-2( 1)}{1}=-p$ [由公式(i)]
$\Rightarrow \frac{1-2}{1}=-p$
$\Rightarrow p=1$
$\therefore p+q=1+1=2$。
更新於： 2022年10月10日
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