如果方程$(a^2+b^2)x^2-2(ac+bd)x+(c^2+d^2)=0$的根相等，證明$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$。

已知

已知二次方程為$(a^2+b^2)x^2-2(ac+bd)x+(c^2+d^2)=0$。已知該二次方程的根相等。

要求

我們必須證明$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$。

解答

將給定的二次方程與二次方程的標準形式$ax^2+bx+c=0$進行比較，得到：

$a=(a^2+b^2), b=-2(ac+bd)$ 和 $c=(c^2+d^2)$。

標準形式二次方程$ax^2+bx+c=0$的判別式為$D=b^2-4ac$。

$D=[-2(ac+bd)]^2-4(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

$D=4(a^2c^2+2abcd+b^2d^2)-4(a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2)$

$D=4a^2c^2+8abcd+4b^2d^2-4a^2c^2-4a^2d^2-4b^2c^2-4b^2d^2$

$D=8abcd-4a^2d^2-4b^2c^2$

如果$D=0$，則給定的二次方程具有相等的根。

這意味著：

$8abcd-4a^2d^2-4b^2c^2=0$

$4a^2d^2+4b^2c^2-8abcd=0$

$(2ad-2bc)^2=0$

$2ad-2bc=0$

$2ad=2bc$

$ad=bc$

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

證畢。

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更新於：2022年10月10日

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