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法學求頂點為(3, 0), (-1, -6)和(4, -1)的三角形外心的座標及其外接圓半徑。
已知
已知點為(3, 0), (-1, -6)和(4, -1)。
要求
我們需要找到三角形外心的座標及其外接圓半徑。
解答
設△ABC的頂點為A(3, 0), B(-1, -6)和C(4, -1)。
設O(x, y)為△ABC的外心。
這意味著：
OA = OB = OC
=> OA² = OB² = OC²
我們知道：
兩點A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)之間的距離為√[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]。
因此：
OA² = (x-3)² + (y-0)²
= (x-3)² + y²
OB² = (x+1)² + (y+6)²
OC² = (x-4)² + (y+1)²
OA² = OB²
(x-3)² + y² = (x+1)² + (y+6)²
=> x² - 6x + 9 + y² = x² + 2x + 1 + y² + 12y + 36
=> -6x - 2x - 12y = 1 + 36 - 9
=> -8x - 12y = 28
=> 2x + 3y = -7 ……(i)
OB² = OC²
(x+1)² + (y+6)² = (x-4)² + (y+1)²
x² + 2x + 1 + y² + 12y + 36 = x² - 8x + 16 +
y² + 2y + 1
2x + 12y + 37 + 8x - 2y = 17
10x + 10y = 17 - 37 = -20
x + y = -2 ……(ii)
用2乘(ii)式，然後從(i)式中減去，得到：
(2x + 3y) - (2x + 2y) = -7 - (-4)
y = -3
=> x - 3 = -2
=> x = -2 + 3 = 1
O的座標為(1, -3)。
半徑 = OA = √[(1+1)² + (-3+6)²]
= √(2² + 3²)
= √(4 + 9)
= √13 個單位
三角形外心的座標為(1, -3)，外接圓半徑為√13 個單位。
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