如果一個三角形三邊的中點座標分別為$(3, 4), (4, 6)$和$(5, 7)$,求該三角形的頂點座標。
已知
一個三角形三邊的中點座標分別為$(3, 4), (4, 6)$和$(5, 7)$。
要求
我們要求出該三角形的頂點座標。
解答
設$\triangle ABC$的頂點分別為$A (x_1, y_1), B (x_2, y_2)$和$C (x_3, y_3)$,且$BC$、$CA$和$AB$的中點分別為$D(3,4), E(4,6)$和$F(5,7)$。
$D$是$BC$的中點。
這意味著:
\( \frac{x_{2}+x_{3}}{2}=3 \)
\( \Rightarrow x_{2}+x_{3}=6 \).....(i)
\( \frac{y_{2}+y_{3}}{2}=4 \)
\( \Rightarrow y_{2}+y_{3}=8 \)......(a)
類似地,
\( E \)是\( A C \)的中點。
\( \frac{x_{3}+x_{1}}{2}=4 \)
\( \Rightarrow x_{3}+x_{1}=8 \).......(ii)
\( \frac{y_{3}+y_{1}}{2}=6 \)
\( \Rightarrow y_{3}+y_{1}=12 \).......(b)
\( \mathrm{F} \)是\( \mathrm{AB} \)的中點。
\( \frac{x_{2}+x_{1}}{2}=5 \)
\( \Rightarrow x_{2}+x_{1}=10 \)........(iii)
\( \frac{y_{2}+y_{1}}{2}=7 \)
\( \Rightarrow y_{2}+y_{1}=14 \).......(c)
將(i)、(ii)和(iii)相加,得到:
\( 2\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)=24 \)
\( \Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}=12 \)......(iv)
從(iv)中分別減去(i)、(ii)和(iii),得到:
\( x_{1}=6, x_{2}=4, x_{3}=2 \)
類似地,
將(a)、(b)和(c)相加,得到:
\( 2\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)=34 \)
\( \Rightarrow y_{1}+y_{2}+y_{3}=17 \).......(d)
從(d)中分別減去(a)、(b)和(c),得到:
\( y_{1}=9 \) \( y_{2}=5 \) \( y_{3}=3 \)
因此,\( \Delta \mathrm{ABC} \)的頂點座標為\( \mathrm{A}(6,9), \mathrm{B}(4,5), \mathrm{C}(2,3) \)
該三角形的頂點座標為$(6,9), (4,5)$和$(2,3)$。