$AB$是一條線段，$P$和$Q$是$AB$兩側的點，它們到點$A$和$B$的距離相等。證明直線$PQ$是$AB$的垂直平分線。

已知

$AB$是一條線段，$P$和$Q$是$AB$兩側的點，它們到點$A$和$B$的距離相等。

目標

我們必須證明直線$PQ$是$AB$的垂直平分線。

解答

在$\triangle PAQ$和$\triangle PBQ$中，

$PA = PB$ (已知)

$QA = QB$ (已知)

$PQ = PQ$ (公共邊)

因此，根據SSS公理，

$\triangle PAQ \cong \triangle PBQ$

這意味著，

$\angle APQ = \angle BPQ$ (全等三角形對應角相等)

在$\triangle APC$和$\triangle BPC$中，

$PA = PB$ (已知)

$\angle APC = \angle BPC$

$PC = PC$ (公共邊)

因此，根據SAS公理，

$\triangle APC \cong \triangle BPC$

這意味著，

$AC = BC$ (全等三角形對應邊相等)

$\angle PCA = \angle PCB$ (全等三角形對應角相等)

$\angle PCA + \angle PCB = 180^o$ (鄰補角)

這意味著，

$\angle PCA = \angle PCB = 90^o$

因此，$PQ$是$AB$的垂直平分線。

證畢。

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更新於：2022年10月10日

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