在一個半徑為 \( 5\sqrt{2} \mathrm{~cm} \) 的圓中畫一條 \( 10 \mathrm{~cm} \) 的弦長。求兩塊扇形的面積。(取 \( \pi=3.14) \)

已知

在一個半徑為 \( 5\sqrt{2} \mathrm{~cm} \) 的圓中畫一條長度為 \( 10 \mathrm{~cm} \) 的弦長。

要求

求兩塊扇形的面積。

解

圓的半徑 \(r=5\sqrt2 \mathrm{~cm}\)

弦長的長度 \(AB=10\mathrm{~cm}\)

令 \(O L\ \perp\ A B\)，它將 \(A B\) 二等分於 \(L\)，並把角 \( \mathrm{AOB} \) 分成兩半，則 \( \angle \mathrm{AOB}=\theta\)

$\mathrm{AL}=\mathrm{LB}$

$=\frac{10}{2}$

$=5 \mathrm{~cm}$

$\angle A O B = \frac{\theta}{2}$

在 \( \triangle OAL \) 中，

$\sin \frac{\theta}{2}=\frac{A L}{O A}$

$=\frac{5}{5 \sqrt{2}}$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$=\sin 45^{\circ}$

這表明，

$\frac{\theta}{2}=45^{\circ}$

$\Rightarrow \theta=45^{\circ} \times 2$

$=90^{\circ}$

扇形 ACB 的面積 $=(\frac{\theta \pi}{360^{\degree}}-\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}) r^{2}$

$=(\frac{90^{\degree} \pi}{360^{\degree}}-\sin \frac{90^{\degree}}{2} \cos \frac{90^{\degree}}{2})(5 \sqrt{2})^{2}$

$=(\frac{1}{4} \times 3.14-\sin 45^{\degree} \cos 45^{\degree}) \times 50$

$=(\frac{1.57}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) \times 50$

$=(\frac{1.57}{2}-\frac{1}{2})\times 50$

$=50 \times \frac{1.57 - 1.00}{2}$

$=25 \times 0.57$

$=14.25 \mathrm{~cm}^{2}$

圓的面積 $= \pi r^{2}$

$=3.14 \times(5 \sqrt{2})^{2}$

$=3.14 \times 50$

$=157 \mathrm{~cm}^{2}$

因此，

扇形 ADB 的面積 $=$ 圓的面積

$-$ 扇形 ACB 的面積

$=157.00-14.25$

$=142.75 \mathrm{~cm}^{2}$

教程點

更新於： 2022 年 10 月 10 日

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