如果點\( (a, b) \)是連線點\( \mathrm{A}(10,-6) \)和\( \mathrm{B}(k, 4) \)的線段的中點，並且\( a-2 b=18 \)，求\( k \)的值和線段AB的長度。

已知： 

$(a, b)$ 是連線點 $A (10, -6), B (k, 4)$ 的線段的中點，且 $a – 2b = 18$。

求解： 

求 $k$ 的值和線段 AB 的長度。

解答

我們知道：

連線點 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 的線段的中點是 $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ 

因此，

\( (a, b)=\left(\frac{10+k}{2}, \frac{-6+4}{2}\right) \)

\( \Rightarrow(a, b)=\left(\frac{10+k}{2},-1\right) \)

比較兩邊座標，我們得到：

\( a=\frac{10+k}{2} \) 且 \( b=-1 \)

已知：

\( a-2 b=18 \)

這意味著：

\( a-2(-1)=18 \)

\( a+2=18 \)

\( a=18-2=16 \)

\( 16=\frac{10+k}{2} \)

\( 16(2)=10+k \)

\( k=32-10=22 \)

點\( (x_{1}, y_{1}) \)和\( (x_{2}, y_{2}) \)之間的距離\( =\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}} \)

點\( \mathrm{A}(10,-6) \)和\( \mathrm{B}(22,4) \)之間的距離

\( \mathrm{AB}=\sqrt{(22-10)^{2}+(4+6)^{2}} \)

\( = \sqrt{(12)^{2}+(10)^{2}} \)

\( =\sqrt{144+100} \)

\( = \sqrt{244} \)

\( =2 \sqrt{61} \)

因此，k 的值為 22，AB 的距離為 \( 2 \sqrt{61} \). 

更新於：2022年10月10日

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