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法律學在下列問題中，形成線性方程組，並用消元法求解
(i) 如果我們給分子的分子加 1，並從分母中減去 1，則分數變為 1。如果我們只給分母加 1，它就變成 $\frac{1}{2}$。這個分數是多少？
(ii) 五年前，努裡是索努年齡的三倍。十年後，努裡將是索努年齡的兩倍。努裡和索努現在幾歲？
(iii) 一個兩位數的數字之和是 9。此外，這個數的九倍是將數字順序顛倒後得到的數的兩倍。求這個數。
(iv) 米娜去銀行取款 2000 盧比。她要求出納員只給她 50 盧比和 100 盧比的鈔票。米娜一共得到了 25 張鈔票。求她分別收到了多少張 50 盧比和 100 盧比的鈔票。
(v) 一個借閱圖書館對前三天收取固定費用，之後每多一天收取額外費用。薩麗塔借了一本書七天，支付了 27 盧比，而蘇西借了一本書五天，支付了 21 盧比。求固定費用和每多一天的費用。
待辦事項
我們需要形成線性方程組，並用消元法求解。
解答
(i) 令原分數的分子和分母分別為 $x$ 和 $y$。
原分數$=\frac{x}{y}$
如果給分子加 1 並從分母減去 1，則分數變為 1。
這意味著，
新分數$=\frac{x+1}{y-1}$
根據題意，
$\frac{x+1}{y-1}=1$
$x+1=1(y-1)$ (交叉相乘)
$x+1=y-1$
$y=x+1+1$
$y=x+2$.....(i)
當只給分母加 1 時，它就變成 $\frac{1}{2}$。
這意味著，
$\frac{x}{y+1}=\frac{1}{2}$
$2(x)=1(y+1)$ (交叉相乘)
$2x=y+1$
$2x-y-1=0$
$2x-(x+2)-1=0$ (來自 (i))
$2x-x-2-1=0$
$x=3$
$\Rightarrow y=x+2$
$y=3+2$
$y=5$
因此，原分數是 $\frac{3}{5}$.
(ii) 令努裡和索努的年齡分別為 $x$ 和 $y$。
這意味著，
努裡 5 年前的年齡 $= x-5$ 年。
索努 5 年前的年齡 $= y-5$ 年。
努裡 10 年後的年齡 $= x+10$ 年。
索努 10 年後的年齡 $= y+10$ 年。
根據題意，
$x+10=2(y+10)$
$x+10=2y+20$
$x=2y+20-10$
$x=2y+10$.....(i)
$x-5=3(y-5)$
$x-5=3y-15$
$3y=(2y+10)+15-5$ (來自 (i))
$3y=2y+10+10$
$3y-2y=20$
$y=20$
$\Rightarrow x=2(20)+10=40+10=50$
努裡和索努現在的年齡分別為 50 歲和 20 歲。
(iii) 令兩位數為 $10x+y$。
$x + y = 9$
$x=9-y$.....(i)
將數字順序顛倒後得到的數為 $10y+x$。
因此，
$9(10x+y) = 2(10y+x)$
$90x+9y=20y+2x$
$90x-2x+9y-20y=0$
$88x-11y=0$
$11(8x-y) = 0$
$8x-y = 0$
$y=8x$
將 $y = 8x$ 代入方程 (i)，得到，
$x =9-8x $
$x+8x = 9$
$9x = 9$
$x=1$
這意味著，
$y = 8x = 8(1)=8$
原數為 $10(1)+8 = 10+8 = 18$。
原數是 18。
(iv) 令 50 盧比的鈔票數量為 $x$，100 盧比的鈔票數量為 $y$。
鈔票總數 $= 25$
這意味著，
$x + y = 25$
$x = 25-y$....(i)
只有 50 盧比的鈔票的總金額 $= 50x$
只有 100 盧比的鈔票的總金額 $=100y$
總金額 $=2000$ 盧比
$50x + 100y = 2000$
$50(25-y) + 100y = 2000$ (來自 (i))
$50\times25 - 50y + 100y = 2000$
$1250 +50 y = 2000$
$50y = 2000-1250 = 750$
$y = \frac{750}{50} = 15$
$ x = 25-15 = 10$ (來自 (i))
因此，她收到了 $10$ 張 50 盧比的鈔票和 $15$張 100 盧比的鈔票。
(v) 令前三天的固定費用和之後每多一天的額外費用分別為 $x$ 和 $y$。
根據題意，
$x + 4y = 27$.....(i)
$x + 2y = 21$.....(ii)
從方程 (i) 中減去方程 (ii)，得到，
$(x+4y)-(x+2y)=27-21$
$x-x+4y-2y=6$
$2y=6$
$y=\frac{6}{2}$
$y=3$
將 $y=3$ 代入方程 (ii)，得到，
$x+2(3)=21$
$x+6=21$
$x=21-6$
$x=15$
固定費用為 15 盧比，每多一天的費用為 3 盧比。
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