SciPy - 積分



當一個函式無法進行解析積分,或者解析積分非常困難時,通常會轉向數值積分方法。SciPy 提供了許多執行數值積分的例程。大多數例程都位於同一個 **scipy.integrate** 庫中。下表列出了一些常用的函式。

序號 函式及描述
1

quad

單重積分

2

dblquad

二重積分

3

tplquad

三重積分

4

nquad

n 重積分

5

fixed_quad

高斯求積,n 階

6

quadrature

達到容差的高斯求積

7

romberg

龍貝格積分

8

trapz

梯形法則

9

cumtrapz

梯形法則累積計算積分

10

simps

辛普森法則

11

romb

龍貝格積分

12

polyint

解析多項式積分 (NumPy)

13

poly1d

polyint 的輔助函式 (NumPy)

單重積分

Quad 函式是 SciPy 積分函式的核心。數值積分有時稱為 **求積**,因此得名。它通常是執行函式 *f(x)* 在給定固定範圍 a 到 b 上的單重積分的預設選擇。

$$\int_{a}^{b} f(x)dx$$

quad 的一般形式為 **scipy.integrate.quad(f, a, b)**,其中 'f' 是要積分的函式的名稱。而 'a' 和 'b' 分別是下限和上限。讓我們來看一個高斯函式在 0 到 1 範圍內的積分示例。

我們首先需要定義函式 → *f(x) = e-x²*,這可以使用 lambda 表示式來完成,然後呼叫該函式上的 quad 方法。

import scipy.integrate
from numpy import exp
f= lambda x:exp(-x**2)
i = scipy.integrate.quad(f, 0, 1)
print i

上面的程式將生成以下輸出。

(0.7468241328124271, 8.291413475940725e-15)

quad 函式返回兩個值,第一個值是積分值,第二個值是積分值絕對誤差的估計值。

**注意** - 由於 quad 需要函式作為第一個引數,因此我們不能直接將 exp 作為引數傳遞。Quad 函式接受正負無窮大作為積分限。Quad 函式可以積分單個變數的標準預定義 NumPy 函式,例如 exp、sin 和 cos。

多重積分

二重積分和三重積分的機制已被封裝到 **dblquad、tplquad** 和 **nquad** 函式中。這些函式分別整合四個或六個引數。所有內積分的極限都需要定義為函式。

二重積分

**dblquad** 的一般形式為 scipy.integrate.dblquad(func, a, b, gfun, hfun)。其中,func 是要積分的函式的名稱,'a' 和 'b' 分別是 x 變數的下限和上限,而 gfun 和 hfun 是定義 y 變數下限和上限的函式的名稱。

例如,讓我們執行二重積分方法。

$$\int_{0}^{1/2} dy \int_{0}^{\sqrt{1-4y^2}} 16xy \:dx$$

我們使用 lambda 表示式定義函式 f、g 和 h。請注意,即使 g 和 h 是常數(在許多情況下可能如此),也必須將其定義為函式,就像我們這裡為下限所做的那樣。

import scipy.integrate
from numpy import exp
from math import sqrt
f = lambda x, y : 16*x*y
g = lambda x : 0
h = lambda y : sqrt(1-4*y**2)
i = scipy.integrate.dblquad(f, 0, 0.5, g, h)
print i

上面的程式將生成以下輸出。

(0.5, 1.7092350012594845e-14)

除了上面描述的例程之外,scipy.integrate 還有一些其他的積分例程,包括 nquad(執行 n 重積分),以及實現各種積分演算法的其他例程。但是,quad 和 dblquad 將滿足我們大多數數值積分的需求。

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