四邊形：角和性質

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介紹

在幾何學中，四邊形是一個四邊多邊形，具有四條邊和四個角（頂點）。

這個名稱來源於拉丁語單詞 Quadra（四的變體）和 latus（意思是“邊”）。

在參考其他多邊形時，它也被稱為四邊形，源於希臘語“tetra”（意思是“四”）和“gon”（意思是“角”）。由於“gon”是“angle”（角）的字謎，因此它也被稱為四邊形或 4-角。

四邊形有兩種型別：簡單（非自相交）和複雜（自相交或交叉）。

凸四邊形或凹四邊形是簡單四邊形。在本教程中，我們將討論四邊形及其型別以及性質。

四邊形

四邊形是幾何學中一個封閉的物體，它透過連線四個點建立而成，其中任意三個點不共線。四邊形有 4 條邊、4 個角和 4 個頂點。四邊形的所有四條邊可能相等，也可能不相等。在命名四邊形時，必須考慮頂點的排列順序。例如，以下四邊形應稱為 PQRS、QRSP、PSRQ 或 RSPQ。由於它們改變了生成四邊形的頂點順序，因此不能稱為 PRSQ 或 SQPR。帶有字母 PQRS 的四邊形有四條邊：PQ、QR、RS 和 PS，以及兩條對角線：PR 和 QS。

上述每個四邊形都有其獨特的特徵。然而，所有四邊形都有一些共同的特徵。它們列在下面；

• 它們有四條邊。

• 它們有四個角。

• 它們有四個頂點。

• 它們有兩條對角線。

• 所有內角的總和為 360°。

我們將深入研究幾種四邊形的其他特性。可以使用以下四邊形的特性來識別四邊形。

正方形的性質

下面是幾何圖形正方形 ABCD，其中 AB=BC=CD=AD & AC=BD。

也就是說，所有邊都相等，對角線也相等，每個角的度數為 90 度，即 $\mathrm{\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ}$

矩形的性質

下面是幾何圖形矩形 EFGH，其中 EF=GH & FG=EH & EG=FH。

也就是說，對邊相等，對角線相等，每個角的度數為 90 度 $\mathrm{\angle E=\angle F=\angle G=\angle H=90^\circ}$

平行四邊形的性質

下面是幾何圖形平行四邊形 IJKL，其中 IJ=LK & JK=IL

$$\mathrm{IJ\parallel LK,JK\parallel IL}$$

也就是說，對邊相等且平行，對角線互相平分，它們在點 O 處相交。在平行四邊形中，對角相等，即 $\mathrm{\angle I=\angle K\:\: \& \:\: \angle J=\angle L}$

梯形的性質

下面是幾何圖形梯形 MNOP，其中

$$\mathrm{MN\parallel PO}$$

也就是說，一對對邊平行，這兩條邊稱為底，另外兩條邊稱為腰。當腰的長度相等時，該梯形稱為等腰梯形。

菱形的性質

下面是幾何圖形菱形 QRST，其中 $\mathrm{QR=RS=ST=QT\:\: \&\:\: QR\parallel TS,QT\parallel RS}$

也就是說，所有邊的長度都相等，並且成對的對邊平行，對角線互相平分，在點 O 處相交。在菱形中，對角相等，即 $\mathrm{\angle Q=\angle S\:\: \&\:\: \angle R=\angle T}$

風箏的性質

下面是幾何圖形風箏 UVWZ，其中 UV=UZ，VW=ZW

也就是說，鄰邊長度相等，對角線互相平分，在點 O 處相交。

四邊形的角和性質

此性質指出，四邊形所有角的和為 360°。

證明

PQRS 是一個四邊形，PQ、QR、RS 和 PR 是它的四條邊，PR 是四邊形 PQRS 的一條對角線。

由於對角線 PR，四邊形 PQRS 被分成兩個區域，即三角形 PSR 和 PQR。

我們知道三角形的角和性質，該性質指出三角形中三個角的和為 180 度。

在三角形 PSR 和三角形 PQR 中使用此三角形性質，我們得到以下等式

$$\mathrm{\angle PQR+\angle QPR+\angle QRP=180^\circ………………….. (1)}$$

$$\mathrm{\angle PSR+\angle SPR+\angle SRP=180^\circ……………………. (2)}$$

將等式 (1) 和 (2) 相加，我們得到：

$$\mathrm{\angle PQR+\angle QPR+\angle QRP+\angle PSR+\angle SPR+\angle SRP=180^\circ+180^\circ=360^\circ…… (3)}$$

注意：

$$\mathrm{\angle QPR+\angle SPR=\angle P}$$

$$\mathrm{\angle QRP+\angle SRP=\angle R}$$

$$\mathrm{\angle PQR=\angle Q\:\: \&\:\: \angle PSR=\angle S}$$

因此，等式 (3) 變為：

$$\mathrm{\angle P+\angle Q+\angle R+\angle S=360^\circ}$$

因此，我們證明了四邊形中所有角的和為 360 度。

例題

1.求以下菱形四邊形中未知角 x 的度數。

解 -

我們知道菱形中對角相等。因此，

$$\mathrm{\angle Q=\angle S=80^\circ \:\:\&\:\: \angle R=\angle T=x}$$

由於四邊形中四個角的和為 360 度，因此 $\mathrm{\angle Q+\angle R+\angle S+\angle T=360^\circ}$

$$\mathrm{80+x+80+x=360^\circ}$$

$$\mathrm{2x+160=360}$$

$$\mathrm{2x=200}$$

$$\mathrm{x=100}$$

2.確定以下平行四邊形 IJKL 中角 y 的度數。

解

我們知道平行四邊形中對角相等。因此，$\mathrm{\angle I=\angle K=110^\circ \:\:\&\:\: \angle J=\angle L=x}$

由於四邊形中四個角的和為 360 度，因此 $\mathrm{\angle I+\angle J+\angle K+\angle L=360^\circ}$

$$\mathrm{110+x+110+x=360^\circ L}$$

$$\mathrm{2x+220=360}$$

$$\mathrm{2x=140}$$

$$\mathrm{x=70}$$

3.確定以下矩形 EFGH 中 y 的值。

解

在矩形中，每個角的度數為 90 度，並且成對的對邊相等且平行。

我們有 $\mathrm{ EF\parallel HG}$

因此，

$\mathrm{ \angle EHO= \angle OFG…………….}$（內錯角相等）

因此，

$$\mathrm{y=45^o}$$

結論

封閉的四邊形有四條邊、四個頂點和四個角。它是一種多邊形。為了建立它，連線四個不共線的點。四邊形的內角總和始終為 360 度。

常見問題

1. 使四邊形獨特的因素是什麼？

特殊四邊形有許多獨特的性質。梯形只有一組平行邊。平行四邊形有兩組相等且平行的邊。具有四個直角的平行四邊形是矩形。

2. 四邊形之間有什麼聯絡？

四邊形有很多不同的種類，但它們都有四條邊、兩條對角線以及內角之和為 360 度。它們彼此相關，但它們都是獨特的，並且具有不同的特徵。

3. 所有四邊形都是平行四邊形，對嗎？

錯誤。由於每個平行四邊形都是四邊形，因此任何平行四邊形都是四邊形。

4. 四邊形總是多邊形嗎？

四邊形必須始終有四條邊和四個角，並且邊不能是曲線（因為它是一種多邊形）。因此，多邊形並不總是四邊形，但四邊形總是多邊形。

5. 四邊形的四條邊大小都相等嗎？

存在正四邊形和不規則四邊形。正四邊形必須有四條相等的邊、四個相等的角以及互相平分地交叉的對角線。唯一滿足所有這些條件的四邊形是正方形。