二次方程公式

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簡介

二次方程是一個一元多項式方程，其次數為二。二次方程中未知變數的最高冪為二。一個以變數 x 為未知數的二次方程的一般形式為 f(x)=ax²+bx+c=0，其中 a≠0 且 a，b，c ϵ R。每個二次方程都有兩個根，這些根可以是實數或虛數。二次方程的判別式決定了根的性質。可以使用二次方程公式計算根。

二次方程

二次方程是一個一元多項式方程，其次數為二。二次方程的一般形式為 f(x)=ax²+bx+c=0，其中 x 是未知變數，a≠0，且 a，b，c ϵ R。a 是二次方程的領先係數，c 是二次方程的常數項。滿足二次方程的未知變數的值稱為根。根可以是實數或虛數。有多種方法可以解二次方程並找到二次方程的根。

例如：3x²+5x+6=0、-x²+2x-1=0 等都是二次方程。

二次方程公式

可以使用二次方程公式找到二次方程的根。考慮二次方程 f(x)=ax²+bx+c=0，其中 x 是未知變數，a≠0，且 a，b，c ϵ R。現在，使用二次方程公式求解二次方程的根為：

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，a、b、c 是二次方程 ax²+bx+c=0 的係數的值。

判別式

• 二次方程 f(x)=ax^2+bx+c=0 的判別式 (D) 等於 b²-4ac。判別式的值決定了二次方程中根的性質。

• 如果 D 的值 > 0，則存在兩個不同的實數根。

• 如果 D 的值 < 0，則存在兩個不同的虛數根。

• 如果 D 的值 = 0，則存在一個實數根（兩個根相等）。

• 如果二次方程 ax²+bx+c=0 的判別式值等於零，即 b²=4ac，則二次方程的根為 $\mathrm{x=\frac{-b}{2a}, \frac{-b}{2a}}$

• 如果二次方程 ax²+bx+c=0 的判別式值小於零，即 b²<4ac，則二次方程的根始終為共軛複數對。如果一個根是 p+iq，則另一個根是 p-iq。

二次方程公式的推導

考慮二次方程 f(x)=ax²+bx+c=0，其中 x 是未知變數，a≠0，且 a，b，c ϵ R。現在，為了推匯出根的二次方程公式，將 c 移到方程的另一側。

$$\mathrm{ax^2+bx=-c}$$

將方程的兩邊除以 $\mathrm{\frac{1}{a}}$

$$\mathrm{x^2+\frac{b}{a} x=-\frac{c}{a}}$$

現在，在方程的兩邊加上 $\mathrm{(\frac{b}{2a} )^2}$，以在左側形成一個完全平方。

$$\mathrm{x^2+\frac{b}{a} x+ (\frac{b}{2a} )^2=-\frac{c}{a}+ (\frac{b}{2a} )^2}$$

$$\mathrm{(x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+ (\frac{b}{2a})^2}$$

$$\mathrm{(x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}}$$

$$\mathrm{(x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{-4ac+b^2}{4a^2}}$$

現在，在方程的兩邊取平方根

$$\mathrm{x+\frac{b}{2a}=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}}$$

$$\mathrm{x+\frac{b}{2a}=\frac{±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$

$$\mathrm{x=-\frac{b}{2a}±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$

$$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$

二次方程 f(x)=ax²+bx+c=0 的根為 $\mathrm{x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

解題示例

1) 使用二次方程公式解二次方程 x²+3x+2=0？

已知二次方程 x²+3x+2=0，在方程中，a、b、c 的值分別為 1、3、2。

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，將 a、b、c 的相應值代入公式以獲得方程的根。

$$\mathrm{x=\frac{-3±\sqrt{3^2-8}}{2}=\frac{-3±\sqrt{1}}{2}=-2,-1}$$

-2、-1 是二次方程 x²+3x+2=0 的根。

由於判別式值大於零，因此根是實數且不相等。

2) 使用二次方程公式解二次方程 -x²+4x-5=0？

已知二次方程 -x²+4x-5=0，在方程中，a、b、c 的值分別為 -1、4、-5。

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，將 a、b、c 的相應值代入公式以獲得方程的根。

$$\mathrm{x=\frac{-4±\sqrt{4^2-20}}{-2}=\frac{-4±\sqrt{-4}}{-2}=\frac{-4±i2}{-2}}$$

2+i、2-i 是二次方程 -x²+4x-5=0 的根。

由於判別式值小於零，因此根是虛數且為共軛複數對。

3) 使用二次方程公式解二次方程 x²+2x+2=0？

已知二次方程 x²+2x+2=0，在方程中，a、b、c 的值分別為 1、2、2。

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，將 a、b、c 的相應值代入公式以獲得方程的根。

$$\mathrm{x=\frac{-2±\sqrt{2^2-8}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2}=\frac{-2±i2}{2}}$$

-1+i、-1-i 是二次方程 x²+2x+4=0 的根。

由於判別式值小於零，因此根是虛數且為共軛複數對。

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4) 使用二次方程公式解二次方程 x²+5x+4=0？

已知二次方程 x²+5x+4=0，在方程中，a、b、c 的值分別為 1、5、4。

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，將 a、b、c 的相應值代入公式以獲得方程的根。

$$\mathrm{x=\frac{-5±\sqrt{5^2-16}}{2}=\frac{-5±\sqrt{9}}{2}=-1,-4}$$

-1、-4 是二次方程 x²+5x+4=0 的根。

由於判別式值大於零，因此根是實數且不相等。

結論

在本教程中，我們學習了二次方程、二次方程公式、判別式、判別式如何確定根的性質、二次方程公式的推導以及一些解題示例。

常見問題

1.如何確定二次方程 ax²+bx+c=0 中根的性質？

二次方程的判別式 D =b²-4ac 決定了二次方程的根的性質，即它們是實數、虛數還是相等。

2.如果二次方程的判別式大於零會怎樣？

則根是實數且不相等。

3.二次方程 ax²+bx+c=0 的判別式值是多少？

判別式值 D =b²-4ac。

4.二次方程 ax²+bx+c=0 的二次方程公式是什麼？

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，代入 a、b、c 的相應值。如果平方根下的部分，即 b²-4ac 為正數，即 < 0，則方程有兩個不相等的實數根。而如果平方根下的相同部分，即 b²-4ac 為 0，則方程有兩個相等的實數根，如果為負數，則方程沒有實數根，但有兩個不相等的複數根。

5.確定二次方程 2x²+3x+5=0 的根是實數還是虛數？

要確定根的性質，計算二次方程的判別式值。二次方程的 a、b、c 值分別為 2、3、5。

D =b²-4ac=3²-40=-31。

D < 0，因此根是虛數。

6.如果二次方程的一個根是 2-5i，另一個根的值是多少？

如果二次方程 ax²+bx+c=0 的判別式值小於零，即 b²<4ac，則二次方程的根始終為共軛複數對。如果一個根是 p+iq，則另一個根是 p-iq，因此另一個根等於 2+5i。

7.確定二次方程 x²-2x+1=0 的根是實數還是虛數？

要確定根的性質，計算二次方程的判別式值。二次方程的 a、b、c 值分別為 1、-2、1。

D =b²-4ac=(-2)²-4=0。

D = 0，因此根是相等的實數根。