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法學距離公式
引言
距離公式用於計算兩條線之間的距離。
在XY平面或笛卡爾平面上，連線平面上任意兩點的線的長度可以透過減法確定。
座標取決於它們在XY平面上的位置而不同。
為了找到座標軸上兩點$\mathrm{P(x_{1}\,\:y_{1})\:\&\:Q(x_{2}\,\:y_{2})}$之間的距離，我們應用距離公式。為了找到任何二維幾何圖形的周長或邊的長度，我們使用距離公式。距離公式具有廣泛的現實應用，例如船舶導航、飛機駕駛、衛星定位、任何幾何位置的定位等。
在本教程中，我們將學習二維平面和三維平面中的距離公式，並附帶一些已解決的示例。
座標幾何中的距離公式
XY平面上原點與座標(𝑥1, 𝑦1) & (𝑥2, 𝑦2)之間的距離，其中𝑃 = (𝑥1, 𝑦1) & 𝑄 = (𝑥2, 𝑦2)
使用勾股定理，我們可以寫成
$$\mathrm{PQ^{2}\:=\:PR^{2}\:+\:QR^{2}}$$
從圖中可以看出，
$$\mathrm{d^{2}\:=\:(x_{2}\:-\:x_{1})^{2}\:+\:(y_{2}\:-\:y_{1})^{2}}$$
兩邊開平方，我們得到
$$\mathrm{d\:=\:\sqrt{(x_{2}\:-\:x_{1})^{2}\:+\:(y_{2}\:-\:y_{1})^{2}}}$$
上述表示式稱為距離公式。
在二維空間中
如果𝑀(𝑎1, 𝑏1) & 𝑁(𝑎2, 𝑏2)是給定二維平面或座標軸上的兩點，則距離公式由下式給出
$$\mathrm{MN\:=\:\sqrt{(a_{2}\:-\:a_{1})^{2}\:+\:(b_{2}\:-\:b_{1})^{2}}}$$
在三維空間中
如果𝐴(𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 ) & 𝐵(𝑎2, 𝑏2, 𝑐2)是給定三維平面上的兩點，則距離公式由下式給出
$$\mathrm{AB\:=\:\sqrt{(a_{2}\:-\:a_{1})^{2}\:+\:(b_{2}\:-\:b_{1})^{2}\:+\:(c_{2}\:-\:c_{1})^{2}}}$$
已解決示例
1) 使用距離公式求兩點 𝑷(𝟐, 𝟖) & 𝑸(−𝟒, 𝟏𝟔) 之間的距離。
答案 - 給定兩點$\mathrm{(a_{1}\:,\:b_{1})\:=\:(2,8)\:and\:(a_{2}\:,\:b_{2})\:=\:(-4,16)}$
使用距離公式，
$$\mathrm{d\:=\:\sqrt{(x_{2}\:-\:x_{1})^{2}\:+\:(y_{2}\:-\:y_{1})^{2}}}$$
$$\mathrm{PQ\:=\:\sqrt{(-4\:-\:2)^{2}\:+\:(16\:-\:8)^{2}}}$$
$$\mathrm{PQ\:=\:\sqrt{(-6)^{2}\:+\:(8)^{2}}}$$
$$\mathrm{PQ\:=\:\sqrt{36\:+\:64}}$$
$$\mathrm{PQ\:=\:\sqrt{100}}$$
$$\mathrm{PQ\:=\:10\:單位}$$
因此，兩點𝑃(2, 8) & 𝑄(−4, 16) 之間的距離為10。
2) 使用距離公式求兩點 𝑿 (𝟒, −𝟕) & 𝑸 (−𝟐, 𝟏) 之間的距離。
答案 -
給定兩點$\mathrm{(a_{1}\:,\:b_{1})\:=\:(4,-7)\:and\:(a_{2}\:,\:b_{2})\:=\:(-2,1)}$
使用距離公式，
$$\mathrm{d\:=\:\sqrt{(x_{2}\:-\:x_{1})^{2}\:+\:(y_{2}\:-\:y_{1})^{2}}}$$
$$\mathrm{XY\:=\:\sqrt{(-2\:-\:4)^{2}\:+\:(1\:-\:(-7))^{2}}}$$
$$\mathrm{XY\:=\:\sqrt{(-6)^{2}\:+\:(8)^{2}}}$$
$$\mathrm{XY\:=\:\sqrt{36\:+\:64}}$$
$$\mathrm{XY\:=\:\sqrt{100}}$$
$$\mathrm{XY\:=\:10\:單位}$$
因此，兩點𝑋 (4, −7) & 𝑄 (−2, 1) 之間的距離為10。
3) 求兩點 𝑴(𝟏, 𝟔) & 𝑵(−𝟐, 𝟑) 之間的距離？
給定兩點 (𝑎1, 𝑏1) = (1, 6) 和 (𝑎2, 𝑏2) = (−2, 3)
使用距離公式，
$$\mathrm{MN\:=\:\sqrt{(a_{2}\:-\:a_{1})^{2}\:+\:(b_{2}\:-\:b_{1})^{2}}}$$
$$\mathrm{MN\:=\:\sqrt{(-2\:-\:1)^{2}\:+\:(3\:-\:6)^{2}}}$$
$$\mathrm{MN\:=\:\sqrt{(-3)^{2}\:+\:(-3)^{2}}}$$
$$\mathrm{MN\:=\:\sqrt{9\:+\:9}}$$
$$\mathrm{MN\:=\:\sqrt{18}}$$
$$\mathrm{MN\:=\:4.2426}$$
因此，兩點𝑀(1, 6) & 𝑁(−2, 3) 之間的距離為4.2426。
4) 使用距離公式求三維平面上的兩點 𝑷(𝟑, 𝟔, 𝟕) & 𝑸(𝟐, 𝟒, 𝟓) 之間的距離。
答案 -
給定三維平面上的兩點 (𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 ) = (3, 6, 7) 和 (𝑎2, 𝑏2, 𝑐2) = (2, 4, 5)
$$\mathrm{d\:=\:\sqrt{(a_{2}\:-\:a_{1})^{2}\:+\:(b_{2}\:-\:b_{1})^{2}\:+\:(c_{2}\:-\:c_{1})^{2}}}$$
$$\mathrm{PQ\:=\:\sqrt{(2\:-\:3)^{2}\:+\:(4\:-\:6)^{2}\:+\:(5\:-\:7)^{2}}}$$
$$\mathrm{PQ\:=\:\sqrt{(-1)^{2}\:+\:(-2)^{2}\:+\:(-2)^{2}}}$$
$$\mathrm{PQ\:=\:\sqrt{1\:+\:4\:+\:4}}$$
$$\mathrm{PQ\:=\:\sqrt{9}}$$
$$\mathrm{PQ\:=\:3}$$
因此，三維平面上兩點𝑃(3, 6, 7) & 𝑄(2, 4, 5) 之間的距離為3。
5) 使用距離公式求三維平面上的兩點 𝑷(𝟏, 𝟒, 𝟐) & 𝑸(𝟖, 𝟗, 𝟖) 之間的距離。
答案 -
給定三維平面上的兩點 (𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 ) = (1, 4, 2) 和 (𝑎2, 𝑏2, 𝑐2) = (8, 9, 8)。
$$\mathrm{d\:=\:\sqrt{(a_{2}\:-\:a_{1})^{2}\:+\:(b_{2}\:-\:b_{1})^{2}\:+\:(c_{2}\:-\:c_{1})^{2}}}$$
$$\mathrm{PQ\:=\:\sqrt{(8\:-\:1)^{2}\:+\:(9\:-\:4)^{2}\:+\:(8\:-\:2)^{2}}}$$
$$\mathrm{PQ\:=\:\sqrt{7^{2}\:+\:5^{2}\:+\:6^{2}}}$$
$$\mathrm{PQ\:=\:\sqrt{49\:+\:25\:+\:36}}$$
$$\mathrm{PQ\:=\:\sqrt{110}}$$
$$\mathrm{PQ\:=\:10.48808}$$
因此，三維平面上兩點𝑃(1, 4, 2) & 𝑄(8, 9, 8) 之間的距離為10.48808。
6) 使用距離公式求三維平面上的兩點 𝑨(𝟑, 𝟔, −𝟕) & 𝑩(𝟐, −𝟒, 𝟓) 之間的距離。
答案 -
給定三維平面上的兩點 (𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 ) = (3, 6, −7) 和 (𝑎2, 𝑏2, 𝑐2) = (2, −4, 5)。
$$\mathrm{d\:=\:\sqrt{(a_{2}\:-\:a_{1})^{2}\:+\:(b_{2}\:-\:b_{1})^{2}\:+\:(c_{2}\:-\:c_{1})^{2}}}$$
$$\mathrm{AB\:=\:\sqrt{(2\:-\:3)^{2}\:+\:(-4\:-\:6)^{2}\:+\:(5\:-\:(-7))^{2}}}$$
$$\mathrm{AB\:=\:\sqrt{(-1)^{2}\:+\:(-10)^{2}\:+\:(12)^{2}}}$$
$$\mathrm{AB\:=\:\sqrt{1\:+\:100\:+\:144}}$$
$$\mathrm{AB\:=\:\sqrt{245}}$$
$$\mathrm{AB\:=\:15.6525}$$
因此，三維平面上兩點𝑃(3, 6, −7) & 𝑄(2, −4, 5) 之間的距離為15.6525。
7) 求兩點 𝑰(−𝟏, −𝟏𝟐) & 𝑱(𝟒, 𝟎) 之間的距離。
答案 -
給定兩點 (𝑎1, 𝑏1) = (−1, −12) 和 (𝑎2, 𝑏2) = (4, 0)
使用距離公式，
$$\mathrm{IJ\:=\:\sqrt{(a_{2}\:-\:a_{1})^{2}\:+\:(b_{2}\:-\:b_{1})^{2}}}$$
$$\mathrm{IJ\:=\:\sqrt{(4\:-\:(-1))^{2}\:+\:(0\:-\:(-12))^{2}}}$$
$$\mathrm{IJ\:=\:\sqrt{5^{2}\:+\:12^{2}}}$$
$$\mathrm{IJ\:=\:\sqrt{25\:+\:144}}$$
$$\mathrm{IJ\:=\:\sqrt{169}}$$
$$\mathrm{IJ\:=\:13}$$
因此，兩點𝑀(1, 6) & 𝑁(−2, 3) 之間的距離為4.2426。
8) 使用距離公式求三維平面上的兩點 𝑷(𝟑, 𝟔, 𝟕) & 𝑸(𝟐, 𝟒, 𝟓) 之間的距離。
答案 -
給定三維平面上的兩點 (𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 ) = (3, 6, 7) 和 (𝑎2, 𝑏2, 𝑐2) = (2, 4, 5)。
$$\mathrm{d\:=\:\sqrt{(a_{2}\:-\:a_{1})^{2}\:+\:(b_{2}\:-\:b_{1})^{2}\:+\:(c_{2}\:-\:c_{1})^{2}}}$$
$$\mathrm{PQ\:=\:\sqrt{(2\:-\:3)^{2}\:+\:(4\:-\:6)^{2}\:+\:(5\:-\:7)^{2}}}$$
$$\mathrm{PQ\:=\:\sqrt{(-1)^{2}\:+\:(-2)^{2}\:+\:(-2)^{2}}}$$
$$\mathrm{PQ\:=\:\sqrt{1\:+\:4\:+\:4}}$$
$$\mathrm{PQ\:=\:\sqrt{9}}$$
$$\mathrm{PQ\:=\:3}$$
因此，三維平面上兩點𝑃(3, 6, 7) & 𝑄(2, 4, 5) 之間的距離為3。
距離公式建議在笛卡爾平面上找到給定兩點或座標之間的距離。
為了找到座標軸上兩點 P(x, y) 和 Q(x, y) 之間的距離，我們應用距離公式。
為了找到任何二維幾何圖形的周長或邊的長度，我們使用距離公式。
距離公式一般而言，對於二維平面由下式給出：
三維平面的距離公式由下式給出：
$$\mathrm{d\:=\:\sqrt{(x_{2}\:-\:x_{1})^{2}\:+\:(y_{2}\:-\:y_{1})^{2}}}$$
$$\mathrm{d\:=\:\sqrt{(a_{2}\:-\:a_{1})^{2}\:+\:(b_{2}\:-\:b_{1})^{2}\:+\:(c_{2}\:-\:c_{1})^{2}}}$$
常見問題
1. 誰引入了座標系？
座標系，也稱為笛卡爾平面，以法國數學家勒內·笛卡爾命名。
他是在座標平面中引入幾何問題求解方法的人。
他被稱為座標幾何之父。
2. 什麼是截距？
當直線或曲線穿過笛卡爾平面的座標軸時，它會接觸到兩點，一個在水平軸上，另一個在垂直軸上。這些接觸點稱為平面的截距。
3. 什麼是二面角？
兩個平面相交時形成的角度稱為二面角。相交的平面被認為是笛卡爾平面。
4. 舉例說明座標幾何的一些實際應用？
為了確保飛行安全，座標幾何用於更新航班的位置。
它用於收集有關衛星位置的資訊。
地球的經緯度可以用座標系來描述。
可以用座標幾何來預測風暴的未來路徑。
地圖上城市和州的位置是藉助座標幾何來定位的。
5. 歐幾里得幾何和非歐幾里得幾何有什麼區別？
歐幾里得幾何處理的是二維或平面物體的研究，而非歐幾里得幾何處理的是曲面的研究。
6. 什麼是歐幾里得向量？
既具有大小又具有方向的幾何物件稱為歐幾里得向量，或簡稱向量。它也稱為空間向量或幾何向量。這種型別的向量可以與其他向量相加。
7. 什麼是座標幾何中的斜截式？
當一條直線穿過座標軸時，它會在座標圖上與一個或兩個點相交。
單位 a 從座標圖原點的距離是直線與 y 軸相交的位置。
點斜式直線方程為：$\mathrm{y\:-\:y_{1}\:=\:m(x\:-\:x_{1})}$
斜率為 m 且經過點 (0, 𝑎) 的直線方程為：
$\mathrm{y\:-\:a\:=\:m(x\:-\:0)\:其中(0,\:a)\:表示(x_{1}\:,\:y_{1})}$
因此，$\mathrm{y\:=\:mx\:+\:a}$ 是斜截式直線方程。
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