從圓心為\( O \)的圓上引出兩條相切的線段\( P A \)和\( P B \)，使得\( \angle A P B=120^{\circ} \)。證明\( O P=2 A P \)。

已知

從圓心為\( O \)的圓上引出兩條相切的線段\( P A \)和\( P B \)，使得\( \angle A P B=120^{\circ} \)。

要求

我們需要證明\( O P=2 A P \)。

解答

連線 $OP$。

取 $OP$ 的中點為 $M$，並連線 $AM$。連線 $OA$ 和 $OB$。

在直角三角形 $OAP$ 中，

$\angle OPA = \frac{1}{2} \angle APB = \frac{1}{2}(120^o) = 60^o$

$\angle AOP = 90^o - 60^o = 30^o$

$M$ 是 $\triangle OAP$ 斜邊 $OP$ 的中點

這意味著，

$MO = MA = MP$

$\angle OAM = \angle AOM = 30^o$

$\angle PAM = 90^o – 30^o = 60^o$

$\triangle AMP$ 是一個等邊三角形。

$MA = MP = AP$

此外，$M$ 是 $OP$ 的中點。

$OP = 2 MP = 2 AP$

證畢。

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更新於: 2022年10月10日

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