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法學兩個相似圓錐的體積分別為$12\pi$立方單位和$96\pi$立方單位。如果較小圓錐的曲面面積為$15\pi$平方單位，那麼較大圓錐的曲面面積是多少？
已知：兩個相似圓錐的體積分別為$12\pi$立方單位和$96\pi$立方單位。較小圓錐的曲面面積為$15\pi$平方單位。
求解：求較大圓錐的曲面面積。
解
圓錐體積$=( \frac{1}{3})\pi r^2h$
兩個相似圓錐$\Rightarrow \frac{r_2}{r_1}=\frac{h_2}{h_1}=k$
一個圓錐的體積$=( \frac{1}{3})\pi r_2^2 h_2=96$
另一個圓錐的體積$=( \frac{1}{3})\pi r_1^2 h_1=12$
$\Rightarrow \frac{( \frac{1}{3})\pi r_2^2 h_2}{( \frac{1}{3})\pi r_1^2 h_1}=\frac{96}{12}$
$\Rightarrow (\frac{r_2}{r_1})^2\times( \frac{h_2}{h_1})=8$
$\Rightarrow k^3=2^3$
$\Rightarrow k^3=8$
$\Rightarrow k=2$
$\Rightarrow \frac{r_2}{r_1}=2\Rightarrow r_2=2r_1$
較小圓錐的曲面面積$=\pi r_1( \sqrt{r_1^2 + h_1^2})=15\pi$
較大圓錐的曲面面積$=\pi r_2( \sqrt{r_2^2 + h_2^2})$
$=\pi ( 2r_1)( \sqrt{(2r_1)^2 +(2h_1)^2})$
$=2\pi r_1\times2(\sqrt{r_1^2 + h_1^2})$
$=4\pi r_1(\sqrt{r_1^2 + h_1^2})$
$=4\times15\pi$
$=60\pi$ 平方單位
因此，較大圓錐的曲面面積為$60\pi$平方單位。
更新於：2022年10月10日
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