27個實心鐵球，每個球的半徑為\( r \)，表面積為\( \mathrm{S} \)，將這些鐵球熔化後鑄成一個新的球體，其表面積為\( S^{\prime} \)。求
(i) 新球體的半徑\( r^{\prime} \)，
(ii) \( \mathrm{S} \)和\( \mathrm{S}^{\prime} \)的比值。

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已知

27個實心鐵球，每個球的半徑為\( r \)，表面積為\( \mathrm{S} \)，將這些鐵球熔化後鑄成一個新的球體，其表面積為\( S^{\prime} \)。

要求

我們需要求出

(i) 新球體的半徑\( r^{\prime} \)，
(ii) \( \mathrm{S} \)和\( \mathrm{S}^{\prime} \)的比值。

解答

(i) 每個實心鐵球的半徑 $=r$

這意味著，

每個實心鐵球的體積 $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

27個實心鐵球的總體積 $=27\times\frac{4}{3} \pi r^{3}$

$=36 \pi r^{3}$

新球體的半徑 $=r^{\prime}$

因此，

新球體的體積 $=\frac{4}{3} \pi r^{\prime 3}$

$\frac{4}{3} \pi r^{\prime 3}=36 \pi r^{3}$

$r^{\prime 3}=\frac{36 \times 3 \times r^{3}}{4}$

$=27 r^{3}$

$=(3 r)^{3}$

$r^{\prime}=3 r$

新球體的半徑\( r^{\prime} \)為 $3r$。

(ii) 半徑為 $r$ 的每個鐵球的表面積為 $S =4\pi r^2$

半徑為 $r^{\prime}$ 的鐵球的表面積為 $4 \pi r^{\prime 2}$

$S$ 和 $S^{\prime}$ 的比值為 $4\pi r^2:4 \pi r^{\prime 2}$

$=r^2:(3r)^2$

$=r^2:9r^2$

$=1:9$

$S$ 和 $S^{\prime}$ 的比值為 $1: 9$。