等差數列中四個連續數的和為32，首末兩項之積與中間兩項之積的比為7:15。求這四個數。

已知：

等差數列中四個連續數的和為32，首末兩項之積與中間兩項之積的比為7:15。

求解

我們需要求出這四個數。

解法

設這四個數為 (a-3d), (a-d), (a+d) 和 (a+3d)

這四個數的和 = a-3d + a-d + a+d + a+3d = 32

=> 4a = 32

=> a = 32/4 = 8

首末兩項之積 = (a-3d)(a+3d) = a² - 9d²

中間兩項之積 = (a-d)(a+d) = a² - d²

根據題意，

(a² - 9d²) / (a² - d²) = 7/15

=> 15(a² - 9d²) = 7(a² - d²)

=> 15a² - 135d² = 7a² - 7d²

=> 15a² - 7a² = 135d² - 7d²

=> 8a² = 128d²

=> d² = 8a²/128 = a²/16

=> d = ±√(a²/16)

=> d = ±a/4

=> d = ±8/4 = ±2

如果 a=8, d=2，則

a-3d = 8-3(2) = 8-6 = 2

a-d = 8-2 = 6

a+d = 8+2 = 10

a+3d = 8+3(2) = 8+6 = 14

如果 a=8, d=-2，則

a-3d = 8-3(-2) = 8+6 = 14

a-d = 8-(-2) = 8+2 = 10

a+d = 8+(-2) = 8-2 = 6

a+3d = 8+3(-2) = 8-6 = 2

這四個數是2, 6, 10 和 14。

教程點

更新於：2022年10月10日

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