多項式 $ax^3 + 3x^2 - 3$ 和 $2x^3 - 5x + a$ 分別除以 $(x - 4)$ 後餘數為 $R_1$ 和 $R_2$。如果 $R_1 = R_2$，求 $a$ 的值。

已知

多項式 $ax^3 + 3x^2 - 3$ 和 $2x^3 - 5x + a$ 分別除以 $(x - 4)$ 後餘數為 $R_1$ 和 $R_2$。

$R_1 = R_2$。

要求

求 $a$ 的值。

解

餘數定理指出，當多項式 $p(x)$ 除以一次多項式 $x - a$ 時，餘數等於 $p(a)$。

設 $f(x) = ax^3 + 3x^2 - 3$ 和 $g(x) = 2x^3 - 5x + a$

$p(x) = x-4$

因此，餘數為 $f(4)$ 和 $g(4)$。

$f(4) = a(4)^3+3(4)^2 -3$

$= a(64) + 3(16) -3$

$=64a+48-3$

$=64a+45$

$g(4) = 2(4)^3-5(4) +a$

$= 2(64) -20 +a$

$=128-20+a$

$=a+108$

$R_1=R_2$

這意味著：

$64a+45=a+108$

$64a-a=108-45$

$63a=63$

$a=1$

因此，$a$ 的值為 $1$。    

教程點

更新於：2022年10月10日

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