如果多項式 $x^3 + ax^2 - bx + 10$ 可以被 $x^2 - 3x + 2$ 整除，求 $a$ 和 $b$ 的值。

已知

已知表示式為 $x^3 + ax^2 - bx + 10$。

$(x^2 - 3x + 2)$ 是 $x^3 + ax^2 - bx + 10$ 的一個因式。

要求

我們必須找到 $a$ 和 $b$ 的值。

解

我們知道：

如果 $(x-m)$ 是 $f(x)$ 的一個根，則 $f(m)=0$。

$x^2-3x+2=x^2-2x-x+2$

$=x(x-2)-1(x-2)$

$=(x-2)(x-1)$

這意味著：

$x-2$ 和 $x-1$ 是 $x^3 + ax^2 - bx + 10$ 的因式。

因此：

$f(2)=0$

$\Rightarrow (2)^3 + a(2)^2 - b(2) + 10=0$

$\Rightarrow 8+4a-2b+10=0$

$\Rightarrow 4a-2b+18=0$

$\Rightarrow 2(2a-b+9)=0$

$\Rightarrow b=2a+9$........(i)

$f(1)=0$

$\Rightarrow (1)^3 + a(1)^2 - b(1) + 10=0$

$\Rightarrow 1+a-b+10=0$

$\Rightarrow a-b+11=0$

$\Rightarrow a-(2a+9)+11=0$........[由 (i) 式]

$\Rightarrow a-2a-9+11=0$

$\Rightarrow -a=-2$

$\Rightarrow a=2$

$\Rightarrow b=2(2)+9$

$\Rightarrow b=4+9=13$

$a$ 和 $b$ 的值分別為 2 和 13。       

教程點

更新於：2022年10月10日

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