如果多項式 $2x^3 + ax^2 + 3x - 5$ 和 $x^3 + x^2 - 4x + a$ 被 $x - 2$ 除後留下相同的餘數，求 $a$ 的值。

已知

多項式 $2x^3 + ax^2 + 3x - 5$ 和 $x^3 + x^2 - 4x + a$ 被 $x - 2$ 除後留下相同的餘數。

要求

我們必須找到 $a$ 的值。

解答

餘數定理指出，當一個多項式 $p(x)$ 被線性多項式 $x - a$ 除時，該除法的餘數將等於 $p(a)$。

設 $f(x) = 2x^3 + ax^2 + 3x - 5$ 和 $g(x) = x^3 + x^2 - 4x + a$

$p(x) = x-2$

因此，餘數將為 $f(2)$ 和 $g(2)$。

$f(2) = 2(2)^3+a(2)^2+3(2) -5$

$= 2(8) + a(4) +6-5$

$=16+4a+1$

$=4a+17$

$g(2) = (2)^3+(2)^2-4(2) +a$

$= 8 + 4 -8 +a$

$=4+a$

這意味著：

$4a+17=4+a$

$4a-a=4-17$

$3a=-13$

$a=\frac{-13}{3}$

因此，$a$ 的值為 $\frac{-13}{3}$。  

教程點

更新於：2022年10月10日

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