以下實數的十進位制展開式如下所示。在每種情況下，判斷它們是否為有理數。如果它們是有理數，並且形式為$\frac{p}{q}$，你能說明$q$的素因子嗎？
(i) $43.123456789$
(ii) $0.120120012000120000$....
(iii) $43.\overline{123456789}$。

待辦事項：

這裡，我們需要確定當給定的有理數以$\frac{p}{q}$形式表示時，分母的素因數分解的性質。

解答

(i) $43.123456789$具有有限小數展開式。

這意味著它是一個$\frac{p}{q}$形式的有理數，並且$q$的形式為$2^m \times 5^n$，其中$p$和$q$是非負整數。給定有理數的分母的素因子是$2$和$5$。

(ii) $0.120120012000120000$....具有無限小數展開式。

給定有理數的分母具有除$2$或$5$以外的因子。

因此，給定的實數不是有理數。

(iii) $43.\overline{123456789}$具有無限小數展開式。

因此，給定有理數的分母具有除$2$或$5$以外的因子。

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更新於：2022年10月10日

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