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法律研究用十字相乘法解下列方程組
$\frac{2}{x}\ +\ \frac{3}{y}\ =\ 13$
$\frac{5}{x}\ –\ \frac{4}{y}\ =\ -2$
已知
給定的方程組為
$\frac{2}{x}\ +\ \frac{3}{y}\ =\ 13$
$\frac{5}{x}\ –\ \frac{4}{y}\ =\ -2$
要求：
這裡，我們要求用十字相乘法解給定的方程組。
解答：
令 $\frac{1}{x}=u$ 和 $\frac{1}{y}=v$
給定的方程組可以寫成：
$2u+3v=13$ 和 $5u-4v=-2$
$2u+3v-13=0$ 和 $5u-4v+2=0$
線性方程組 $a_1u+b_1v+c_1=0$ 和 $a_2u+b_2v+c_2=0$（標準形式）的解由以下公式給出：
$\frac{u}{b_1c_2-b_2c_1}=\frac{-v}{a_1c_2-a_2c_1}=\frac{1}{a_1b_2-a_2b_1}$
將上述方程與方程的標準形式進行比較，得到：
$a_1=2, b_1=3, c_1=-13$ 和 $a_2=5, b_2=-4, c_2=2$
因此，
$\frac{u}{3\times2-(-4)\times(-13)}=\frac{-v}{2\times2-5\times(-13)}=\frac{1}{2\times(-4)-5\times3}$
$\frac{u}{6-52}=\frac{-v}{4+65}=\frac{1}{-8-15}$
$\frac{u}{-46}=\frac{-v}{69}=\frac{1}{-23}$
$\frac{u}{-46}=\frac{1}{-23}$ 和 $\frac{-v}{69}=\frac{1}{-23}$
$u=\frac{-46\times1}{-23}$ 和 $-v=\frac{69\times1}{-23}$
$u=\frac{-46}{-23}$ 和 $-v=\frac{69}{-23}$
$u=2$ 和 $-v=-3$
$u=2$ 和 $v=3$
這意味著，
$x=\frac{1}{u}=\frac{1}{2}$
$y=\frac{1}{v}=\frac{1}{3}$
給定方程組的解為 $x=\frac{1}{2}$ 和 $y=\frac{1}{3}$。
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