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如圖所示，\( A B C \) 是一個直角三角形，在 \( B \) 處成直角，使得 \( B C=6 \mathrm{~cm} \) 和 \( A B=8 \mathrm{~cm} \)。求其內切圓的半徑。"\n

已知

如圖所示，\( A B C \) 是一個直角三角形，在 \( B \) 處成直角，使得 \( B C=6 \mathrm{~cm} \) 和 \( A B=8 \mathrm{~cm} \)。

要求

我們必須找到其內切圓的半徑。

解答

在直角三角形 $ABC$ 中，

$\angle B = 90^o, BC = 6\ cm, AB = 8\ cm$

設 $r$ 為內切圓的半徑，其圓心為 $O$，分別與邊 $AB、BC$ 和 $CA$ 相切於 $P、Q$ 和 $R$。

$AP$ 和 $AR$ 是圓的切線。

這意味著，

$AP = AR$
同樣地，

$CR = CQ$ 和 $BQ = BP$
$OP$ 和 $OQ$ 是圓的半徑。
$OP\ perp\ AB$ 和 $OQ\ \perp\ BC$ 且 $\angle B = 90^o$ 

$BPOQ$ 是一個正方形。

$BP = BQ = r$

$AR = AP = AB - BD = 8 - r$

$CR = CQ = BC - BQ = 6 - r$
$AC^2 = AB^2 + BC^2$     (根據勾股定理)

$= 8^2 + 6^2$

$= 64 + 36$

$= 100$

$= (10)^2$
$AC = 10\ cm$

$AR + CR = 10\ cm$

$8 - r + 6 - r = 10$

$14 - 2r = 10$

$2r = 14 - 10$

$2r = 4$

$r = 2\ cm$
內切圓的半徑為 2 cm。

更新於: 2022年10月10日

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