在等差數列中，如果第 $k$ 項是 $5k+1$，則求前 $100$ 項的和。

已知：在等差數列中，第 $k$ 項為 $5k+1$。

要求：求前 $100$ 項的和。

設 $a$ 為等差數列的首項，$d$ 為公差。

$\therefore a_k=a+(n-1)d$

已知，$a_k=5k+1$

$a+( k-1)d=5( k-1)+6$

$\Rightarrow a+( k-1)d=6+( k-1)5$

比較兩邊，得到

$a=6$ 和 $d=5$

$\therefore$ 前 $100$ 項的和，$S_{100}=\frac{n}{2}[2a+( n-1)d]$

$=\frac{100}{2}[2\times6+99\times5]$

$=50[12+495]=50( 507)=25, 350$

因此，前 $100$ 項的和為 $25,350$。