如果 $tan\ θ = \frac{a}{b}$，求 $\frac{cos\ θ+sin\ θ}{cos\ θ−sin\ θ}$ 的值。

已知

$tan\ θ = \frac{a}{b}$。

要求

我們必須找到 $\frac{cos\ θ+sin\ θ}{cos\ θ−sin\ θ}$ 的值。

解答：  

假設在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B$ 為直角，$\ tan\ \theta = tan\ A = \frac{a}{b}$。

我們知道，

在以 $B$ 為直角的直角三角形 $ABC$ 中，

根據勾股定理，

$AC^2=AB^2+BC^2$

根據三角函式的定義，

$sin\ \theta=\frac{對邊}{斜邊}=\frac{BC}{AC}$

$cos\ \theta=\frac{鄰邊}{斜邊}=\frac{AB}{AC}$

$tan\ \theta=\frac{對邊}{鄰邊}=\frac{BC}{AB}$

這裡，

$AC^2=AB^2+BC^2$

$\Rightarrow AC^2=(b)^2+(a)^2$

$\Rightarrow AC^2=b^2+a^2$

$\Rightarrow AC=\sqrt{a^2+b^2}$

因此，

$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

 $\frac{cos\ θ+sin\ θ}{cos\ θ−sin\ θ}= \frac{\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}} +\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}}{\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}} -\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}}$

$=\frac{\frac{b+a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}}{\frac{b-a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}}$

$=\frac{a+b}{b-a}$

$\frac{cos\ θ+sin\ θ}{cos\ θ−sin\ θ}$ 的值為 $\frac{a+b}{b-a}$。

教程點

更新於： 2022年10月10日

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