如果 $cos θ=\frac{12}{13}$，證明 $sin θ (1 – tan θ)=\frac{35}{156}$。

已知

$cos θ=\frac{12}{13}$

要求

我們必須證明 $sin θ (1 – tan θ)=\frac{35}{156}$。

解： 

設在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90°$，$cos\ \theta = cos\ A=\frac{12}{13}$。

我們知道：

在以 B 為直角的直角三角形 ABC 中，

根據勾股定理：

$AC^2=AB^2+BC^2$

根據三角函式定義：

$sin\ \theta=\frac{對邊}{斜邊}=\frac{BC}{AC}$

$cos\ \theta=\frac{鄰邊}{斜邊}=\frac{AB}{AC}$

$tan\ \theta=\frac{對邊}{鄰邊}=\frac{BC}{AB}$

這裡，

$AC^2=AB^2+BC^2$

$\Rightarrow (13)^2=(12)^2+BC^2$

$\Rightarrow BC^2=169-144$

$\Rightarrow BC=\sqrt{25}=5$

因此，

$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{13}$

$tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{12}$

這意味著，

讓我們考慮左邊(LHS)，

$sin\ \theta(1-tan\ \theta)=\frac{5}{13}(1-\frac{5}{12})$

$=\frac{5}{13}(\frac{12-5}{12})$

$=\frac{5}{13} \times \frac{7}{12}$

$=\frac{35}{156}$

$=$ 右邊(RHS)

證畢。 

教程點

更新於：2022年10月10日

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