判斷下列語句是正確還是錯誤。請說明理由。
(i) $sin\ (A + B) = sin\ A + sin\ B$。
(ii) $sin\ θ$ 的值隨著 $θ$ 的增大而增大。
(iii) $cos\ θ$ 的值隨著 $θ$ 的增大而增大。
(iv) $sin\ θ = cos\ θ$ 對所有 $θ$ 值都成立。
(v) 當 $A = 0^o$ 時，$cot\ A$ 未定義。

求解： 

我們需要判斷給定的語句是正確還是錯誤。

解答：  

(i) 令 $\mathrm{A}=30^{\circ}$ 和 $\mathrm{B}=60^{\circ}$

這意味著，

左邊 $=\sin (30^{\circ}+60^{\circ})=\sin 90^{\circ}$

$=1$

右邊 $=\sin 30^{\circ}+\sin 60^{\circ}$

$=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}$

$=\frac{1+\sqrt3}{2}$

左邊 $≠$ 右邊

因此，該語句是錯誤的。

(ii) 我們知道，

$\sin 0^{\circ}=0$

$\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$

$\sin 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 90^{\circ}=1$

因此，$\sin\ \theta$ 的值隨著 $\theta$ 的增大而增大。

因此，該語句是正確的。

(iii) 我們知道，

$\cos 0^{\circ}=1$

$\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}$

$\cos 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$

$\cos 90^{\circ}=0$

因此，$\cos\ \theta$ 的值隨著 $\theta$ 的增大而減小。

因此，該語句是錯誤的。

(iv) 我們知道，

$\sin 0^{\circ}=0$

$\cos 0^{\circ}=1$

$\sin 0^{\circ}≠\cos 0^{\circ}$

因此，$\sin \theta$ 不總是等於 $\cos \theta$。

因此，該語句是錯誤的。

(v) 我們知道，

$\cot 0^{\circ}=\frac{\cos 0^{\circ}}{\sin 0^{\circ}}$

$=\frac{1}{0}$

$\frac{1}{0}$ 未定義。

因此，該語句是正確的。 

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更新於：2022年10月10日

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