如果 $3\ cot\ \theta = 2$，求 $\frac{4\ sin\ θ−3\ cos\ θ}{2\ sin\ θ+6\ cos\ θ}$ 的值。

已知

$3\ cot\ \theta = 2$。

求解

我們需要求 $\frac{4\ sin\ θ−3\ cos\ θ}{2\ sin\ θ+6\ cos\ θ}$ 的值。

解：  

設在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，$\ cot\ \theta = cot\ A$。

$3\ cot\ \theta = 2$

$cot\ \theta = cot\ A= \frac{2}{3}$

我們知道：

在以 $B$ 為直角的直角三角形 $ABC$ 中：

根據勾股定理：

$AC^2=AB^2+BC^2$

根據三角函式定義：

$sin\ \theta=\frac{對邊}{斜邊}=\frac{BC}{AC}$

$cos\ \theta=\frac{鄰邊}{斜邊}=\frac{AB}{AC}$

$cot\ \theta=\frac{鄰邊}{對邊}=\frac{AB}{BC}$

這裡：

$AC^2=AB^2+BC^2$

$\Rightarrow AC^2=(2)^2+(3)^2$

$\Rightarrow AC^2=4+9$

$\Rightarrow AC=\sqrt{13}$

因此：

$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{\sqrt{13}}$

$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{\sqrt{13}}$

這意味著：

 $\frac{4\ sin\ θ−3\ cos\ θ}{2\ sin\ θ+6\ cos\ θ}=\frac{4\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right) -3\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)}{2\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right) +6\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)}$

$=\frac{\frac{12-6}{\sqrt{13}}}{\frac{6+12}{\sqrt{13}}}$

$=\frac{6}{18}$

$=\frac{1}{3}$

$\frac{4sin\ θ-3cos\ θ}{2sin\ θ+6cos\ θ}$ 的值為 $\frac{1}{3}$。

教程點

更新於：2022年10月10日

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