如果 $3\ tan\ θ = 4$，求 $\frac{4\ cos\ θ – sin\ θ}{2\ cos\ θ+sin\ θ}$ 的值。

已知

$3tan\ θ = 4$。

要求

我們必須找到 $\frac{4\ cos\ θ – sin\ θ}{2\ cos\ θ+sin\ θ}$ 的值。

解：  

假設在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$ 且 $\ tan\ \theta = tan\ A$。

$3\ tan\ \theta = 4$

$tan\ \theta = tan\ A=\frac{4}{3}$

我們知道，

在以 $B$ 為直角的直角三角形 $ABC$ 中，

根據勾股定理，

$AC^2=AB^2+BC^2$

根據三角函式的定義，

$sin\ \theta=\frac{對邊}{斜邊}=\frac{BC}{AC}$

$cos\ \theta=\frac{鄰邊}{斜邊}=\frac{AB}{AC}$

$tan\ \theta=\frac{對邊}{鄰邊}=\frac{BC}{AB}$

這裡，

$AC^2=AB^2+BC^2$

$\Rightarrow AC^2=(3)^2+(4)^2$

$\Rightarrow AC^2=9+16$

$\Rightarrow AC=\sqrt{25}=5$

因此，

$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}$

$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}$

$\frac{4\ cos\ θ – sin\ θ}{2\ cos\ θ+sin\ θ}=\frac{4\left(\frac{3}{5}\right) -\left(\frac{4}{5}\right)}{2\left(\frac{3}{5}\right) +\frac{4}{5}}$

$=\frac{\frac{12-4}{5}}{\frac{6+4}{5}}$

$=\frac{8}{10}$

$=\frac{4}{5}$

$\frac{4\ cos\ θ-sin\ θ}{2\ cos\ θ+sin\ θ}$ 的值為 $\frac{4}{5}$。

教程點

更新於： 2022年10月10日

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