如果\( \cos A=\frac{\sqrt{3}}{2} \)，求\( \frac{1}{\tan A}+\frac{\sin A}{1+\cos A} \)的值。

---

已知

\( \cos A=\frac{\sqrt{3}}{2} \).

要求

我們必須找到\( \frac{1}{\tan A}+\frac{\sin A}{1+\cos A} \)的值。

解答：  

假設在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，$cos\ A = \frac{\sqrt3}{2}$。

我們知道，

在以 $B$ 為直角的直角三角形 $ABC$ 中，

根據勾股定理，

$AC^2=AB^2+BC^2$

根據三角函式的定義，

$sin\ A=\frac{對邊}{斜邊}=\frac{BC}{AC}$

$cos\ A=\frac{鄰邊}{斜邊}=\frac{AB}{AC}$

$tan\ A=\frac{對邊}{鄰邊}=\frac{BC}{AB}$

這裡，

$AC^2=AB^2+BC^2$

$\Rightarrow (2)^2=(\sqrt3)^2+BC^2$

$\Rightarrow BC^2=4-3$

$\Rightarrow BC=\sqrt{1}=1$

因此，

$sin\ A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$

 $tan\ A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{\sqrt3}$  

這意味著，

$\frac{1}{\tan A}+\frac{\sin A}{1+\cos A}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt3}}+\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{\sqrt3}{2}}$

$=\sqrt{3}+\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2+\sqrt3}{2}}$

$=\frac{\sqrt3}{1}+\frac{1}{2+\sqrt3}$

$=\frac{\sqrt3(2+\sqrt3)+1(1)}{2+\sqrt3}$

$=\frac{2\sqrt3+3+1}{2+\sqrt3}$

$=\frac{2(2+\sqrt3)}{2+\sqrt3}$

$=2$

\( \frac{1}{\tan A}+\frac{\sin A}{1+\cos A} \)的值為\( 2 \)。