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法律研究如果 \( \sec A=\frac{17}{8} \)，驗證 \( \frac{3-4 \sin ^{2} A}{4 \cos ^{2} A-3}=\frac{3-\tan ^{2} A}{1-3 \tan ^{2} A} \)
已知
$sec\ A = \frac{17}{8}$。
需要做的事情
我們需要驗證 \( \frac{3-4 \sin ^{2} A}{4 \cos ^{2} A-3}=\frac{3-\tan ^{2} A}{1-3 \tan ^{2} A} \)。
解：
假設在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B$ 為直角，$sec\ A=\frac{17}{8}$。
我們知道，
在以 $B$ 為直角的直角三角形 $ABC$ 中，
根據勾股定理，
$AC^2=AB^2+BC^2$
根據三角函式的定義，
$sin\ \theta=\frac{對邊}{斜邊}=\frac{BC}{AC}$
$cos\ \theta=\frac{鄰邊}{斜邊}=\frac{AB}{AC}$
$sec\ \theta=\frac{斜邊}{鄰邊}=\frac{AC}{AB}$
$tan\ \theta=\frac{對邊}{鄰邊}=\frac{BC}{AB}$
這裡，
$AC^2=AB^2+BC^2$
$\Rightarrow (17)^2=(8)^2+BC^2$
$\Rightarrow BC^2=289-64$
$\Rightarrow BC=\sqrt{225}=15$
因此，
$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{15}{17}$
$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{17}$
$tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{15}{8}$
這意味著，
讓我們考慮左邊 (LHS)，
$\frac{3-4 \sin ^{2} A}{4 \cos ^{2} A-3}=\frac{3-4\left(\frac{15}{17}\right)^{2}}{4\left(\frac{8}{17}\right)^{2} -3}$
$=\frac{3-4\left(\frac{225}{289}\right)}{4\left(\frac{64}{289}\right) -3}$
$=\frac{\frac{3( 289) -4( 225)}{289}}{\frac{4( 64) -3( 289)}{289}}$
$=\frac{867-900}{256-867}$
$=\frac{-33}{-611}$
$=\frac{33}{611}$
讓我們考慮右邊 (RHS)，
$\frac{3-\tan ^{2} A}{1-3 \tan ^{2} A}=\frac{3-\left(\frac{15}{8}\right)^{2}}{1-3\left(\frac{15}{8}\right)^{2}}$
$=\frac{3-\left(\frac{225}{64}\right)}{1-3\left(\frac{225}{64}\right)}$
$=\frac{\frac{3( 64) -225}{64}}{\frac{64-3( 225)}{64}}$
$=\frac{192-225}{64-675}$
$=\frac{-33}{-611}$
$=\frac{33}{611}$
LHS = RHS
證畢。
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