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法律研究證明以下三角恆等式：\( \frac{\sec A-\tan A}{\sec A+\tan A}=\frac{\cos ^{2} A}{(1+\sin A)^{2}} \)
待辦事項
我們需要證明 \( \frac{\sec A-\tan A}{\sec A+\tan A}=\frac{\cos ^{2} A}{(1+\sin A)^{2}} \).
解答
我們知道，
$\sin ^{2} A+\cos^2 A=1$.......(i)
$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$.........(ii)
$\sec A=\frac{1}{\cos A}$........(iii)
因此，
$\frac{\sec A-\tan A}{\sec A+\tan A}=\frac{\frac{1}{\cos A}-\frac{\sin A}{\cos A}}{\frac{1}{\cos A}+\frac{\sin A}{\cos A}}$
$=\frac{\frac{1-\sin A}{\cos A}}{\frac{1+\sin A}{\cos A}}$
$=\frac{1-\sin A}{\cos A} \times \frac{\cos A}{1+\sin A}$
$=\frac{1-\sin A}{1+\sin A}$
乘以和除以 ($1+\sin A$)，得到，
$=\frac{(1-\sin A)(1+\sin A)}{(1+\sin A)(1+\sin A)}$
$=\frac{1-\sin ^{2} A}{(1+\sin A)^{2}}$
$=\frac{\cos ^{2} A}{(1+\sin A)^{2}}$
證畢。
更新於： 2022年10月10日
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