證明下列三角恆等式：\( \sin ^{2} A+\frac{1}{1+\tan ^{2} A}=1 \)

待辦事項

我們必須證明 \( \sin ^{2} A+\frac{1}{1+\tan ^{2} A}=1 \).

解：

我們知道，

$\sec ^{2} A-tan ^{2} A=1$.......(i)

$ \cos A=\frac{1}{\sec A}$.......(ii)

$\sin ^{2} A+\cos ^{2} A=1$.......(iii)

因此，

$\sin ^{2} A+\frac{1}{1+\tan ^{2} A}=\sin ^{2} A+\frac{1}{\sec ^{2} A}$            (來自 (i))

$=\sin ^{2} A+\cos ^{2} A$             (來自 (ii))

$=1$             (來自 (iii))

證畢。    

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更新於： 2022-10-10

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