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法律研究證明：\( \left(1+\tan ^{2} A\right)+\left(1+\frac{1}{\tan ^{2} A}\right)=\frac{1}{\sin ^{2} A-\sin ^{4} A} \)
待辦事項
我們需要證明 \( \left(1+\tan ^{2} A\right)+\left(1+\frac{1}{\tan ^{2} A}\right)=\frac{1}{\sin ^{2} A-\sin ^{4} A} \).
解答
我們知道，
$\sin^2 A+\cos^2 A=1$
$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$
$\sec^2 A-\tan^2 A=1$
$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$
$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$
$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$
$\sec A=\frac{1}{\cos A}$
因此，
讓我們考慮左側（LHS），
$\left(1+\tan ^{2} \mathrm{~A}\right)\left(1+\frac{1}{\tan ^{2} \mathrm{~A}}\right)=\left(1+\tan ^{2} \mathrm{~A}\right)+\left(1+\cot ^{2} \mathrm{~A}\right)$
$=\sec ^{2} \mathrm{~A} \operatorname{cosec}^{2} \mathrm{~A}$
讓我們考慮右側（RHS），
$=\frac{1}{\sin ^{2} \mathrm{~A}-\sin ^{4} \mathrm{~A}}=\frac{1}{\sin ^{2} \mathrm{~A}-\sin ^{4} \mathrm{~A}}$
$=\frac{1}{\sin ^{2} A\left(1-\sin ^{2} A\right)}$
$=\frac{1}{\sin ^{2} A \cos ^{2} A}$
$=\operatorname{cosec}^{2} A \sec ^{2} A$
$=\sec ^{2} A \operatorname{cosec}^{2} A$
這裡，
LHS = RHS
因此得證。
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