證明：\( \frac{\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}+\frac{\cot ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}=1 \)

待辦事項

我們需要證明\( \frac{\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}+\frac{\cot ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}=1 \).

解答

我們知道：

$\sin^2 A+\cos^2 A=1$

$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$

$\sec^2 A-\tan^2 A=1$

$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$

$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$

$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$

$\sec A=\frac{1}{\cos A}$

因此：

$\frac{\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}+\frac{\cot ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}=\frac{\tan ^{2} A}{\sec ^{2} A}+\frac{\cot ^{2} A}{\operatorname{cosec}^{2} A}$

$=\frac{\sin ^{2} A \times \cos ^{2} A}{\cos ^{2} A}+\frac{\cos ^{2} A \times \sin ^{2} A}{\sin ^{2} A}$

$=\sin ^{2} A+\cos ^{2} A$

$=1$

證畢。      

教程點

更新於：2022年10月10日

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