證明以下恆等式
\( (1+\tan A)^2+(1+\cot A)^2=(\sec A+\operatorname{cosec} A)^2 \)

已知

$(1+tan  A)^2+(1+cot  A)^2=(sec A + cosec  A)^2$

要求

我們需要證明給定的恆等式。

解答

我們知道，

$tan^2A=sec^2A-1$

$cot^2A=cosec^2A-1$

$tanA=\frac{sinA}{cosA}$

$cotA=\frac{cosA}{sinA}$

左邊

$(1+\tan A)^{2}+(1+\cot A)^{2}=1+tan^2A+2tanA+1+cot^2A+2cotA$

$=1+sec^2A-1+1+cosec^2A+2cosecA+2(\frac{sinA}{cosA}+\frac{cosA}{sinA})$

$=sec^2A+cosec^2A+2(\frac{sin^2A+cos^2A}{sinAcosA})$

$=sec^2A+cosec^2A+2(\frac{1}{sinAcosA})$

$=sec^2A+cosec^2A+2secAcosecA$

右邊

$(secA+cosecA)^2=sec^2A+cosec^2A+2secAcosecA$

左邊=右邊

因此得證。

教程點

更新於: 2022年10月10日

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