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法律研究等差數列 45, 39, 33, …，需要取多少項才能使它們的和為 180？解釋為什麼會有兩個答案。
已知
已知等差數列為 45, 39, 33, …
要求
我們需要找到必須取多少項才能使它們的和為 180。
解答
設項數為 \( n \)。
首項 \( (a)=45 \)
公差 \( (d)=39-45=-6 \)
我們知道，
\( S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \)
\( \Rightarrow 180=\frac{n}{2}[2 \times 45+(n-1) \times(-6)] \)
\( \Rightarrow 180=\frac{n}{2}[90-6n+6] \)
\( \Rightarrow 360=n(-6 n+96) \)
\( \Rightarrow 6\times60=6(- n^{2}+16 n) \)
\( \Rightarrow n^{2}-16 n+60=0 \)
\( \Rightarrow n^{2}-10 n-6 n+60=0 \)
\( \Rightarrow n(n-10)-6(n-10)=0 \)
\( \Rightarrow(n-10)(n-6)=0 \)
這意味著，
\( n-10=0 \) 或 \( n-6=0 \)
\( n=10 \) 或 \( n=6 \)
需要取的項數為 6 或 10。
這是因為公差為 -6，所以等差數列在幾項之後會從正數變為負數，這使得從第 7 項到第 10 項的和為 0。
$a_7=a+6d=45+6(-6)=45-36=9, a_8=a_7+d=9-6=3, a_9=a_8+d=3-6=-3, a_{10}=a_9+d=-3-6=-9$
這裡，
$a_7+a_8+a_9+a_{10}=9+3-3-9=0$
更新於：2022年10月10日
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