等差數列 63, 60, 57, …… 中，要取多少項才能使它們的和為 693？

已知

已知等差數列為 63, 60, 57, ……
要求

我們必須找到必須取多少項才能使它們的和為 693。
解答

設項數為 \( n \)。

首項 \( (a)=63 \)

公差 \( (d)=60-63=-3 \)

我們知道：

\( S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \)
\( \Rightarrow 693=\frac{n}{2}[2 \times 63+(n-1) \times(-3)] \)
\( \Rightarrow 693=\frac{n}{2}[126-3 n+3] \)
\( \Rightarrow 1386=n(-3 n+129) \)
\( \Rightarrow 1386=-3 n^{2}+129 n \)
\( \Rightarrow 3 n^{2}-129 n+1386=0 \)

\( \Rightarrow 3(n^{2}-43 n+462)=0 \)
\( \Rightarrow n^{2}-43 n+462=0 \)
\( \Rightarrow n^{2}-21 n-22 n+462=0 \)
\( \Rightarrow n(n-21)-22(n-21)=0 \)
\( \Rightarrow(n-21)(n-22)=0 \)
這意味著：

\( n-21=0 \) 或 \( n-22=0 \)

\( n=21 \) 或 \( n=22 \)

需要取的項數為 21 或 22。

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更新於：2022年10月10日

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