求使由點 $A (a, 2a)$、$B (-2, 6)$ 和 $C (3, 1)$ 形成的三角形的面積為 10 平方單位的 $a$ 的值。

已知

由點 $A (a, 2a)$、$B (-2, 6)$ 和 $C (3, 1)$ 形成的三角形 $ABC$ 的面積為 10 平方單位。

要求

我們必須找到 $a$ 的值。

解答

我們知道，

頂點為 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ 的三角形的面積由下式給出：

三角形面積 $\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

因此，

三角形 \( ABC\) 的面積 \(=\frac{1}{2}[a(6-1)-2(1-2a)+3(2a-6)] \)

\( 10=\frac{1}{2}[5a-2+4a+6a-18] \)

\( 10(2)=(15a-20) \)

\( 20=5(3a-4) \)

\( 3a-4=4 \)

\( 3a=4+4 \)

\( 3a=8 \)

\( a=\frac{8}{3} \)

$a$ 的值為 $\frac{8}{3}$。  

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更新於： 2022 年 10 月 10 日

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