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法律研究需要除以什麼最小的數才能使下列各數的商為完全立方數？
(i) 675
(ii) 8640
(iii) 1600
(iv) 8788
(v) 7803
(vi) 107811
(vii) 35721
(viii) 243000.
待辦事項
我們必須找到最小的數字，用它來除以給定的數字，使商為完全立方數。
解答：
(i) 675 的質因數分解為 $3\times3\times3\times5\times5$
將因子分組為三個相等因子的三元組，我們發現 $5\times5$ 不是一個完整的三元組。
因此，將 675 除以 $5\times5=25$，我們得到：
$675\div25=3\times3\times3\times5\times5\div25$
$=3\times3\times3$
因此，必須除以的最小的數是 25，才能使商為完全立方數。
(ii) 8640 的質因數分解為 $2\times2\times2\times2\times2\times2\times3\times3\times3\times5$
將因子分組為三個相等因子的三元組，我們發現 5 不是一個完整的三元組。
因此，將 8640 除以 5，我們得到：
$8640\div5=2\times2\times2\times2\times2\times2\times3\times3\times3\times5\div5$
$=2\times2\times2\times2\times2\times2\times3\times3\times3$
因此，必須除以的最小的數是 5，才能使商為完全立方數。
(iii) 1600 的質因數分解為 $2\times2\times2\times2\times2\times2\times5\times5$
將因子分組為三個相等因子的三元組，我們發現 $5\times5$ 不是一個完整的三元組。
因此，將 1600 除以 $5\times5=25$，我們得到：
$1600\div25=2\times2\times2\times2\times2\times2\times5\times5\div25$
$=2\times2\times2\times2\times2\times2$
因此，必須除以的最小的數是 25，才能使商為完全立方數。
(iv) 8788 的質因數分解為 $2\times2\times13\times13\times13$
將因子分組為三個相等因子的三元組，我們發現 $2\times2$ 不是一個完整的三元組。
因此，將 8788 除以 $2\times2=4$，我們得到：
$8788\div4=2\times2\times13\times13\times13\div4$
$=13\times13\times13$
因此，必須除以的最小的數是 4，才能使商為完全立方數。
(v) 7803 的質因數分解為 $3\times3\times3\times17\times17$
將因子分組為三個相等因子的三元組，我們發現 $17\times17$ 不是一個完整的三元組。
因此，將 7803 除以 $17\times17=289$，我們得到：
$7803\div289=3\times3\times3\times17\times17\div289$
$=3\times3\times3$
因此，必須除以的最小的數是 289，才能使商為完全立方數。
(vi) 107811 的質因數分解為 $3\times3\times3\times3\times11\times11\times11$
將因子分組為三個相等因子的三元組，我們發現 3 不是一個完整的三元組。
因此，將 107811 除以 3，我們得到：
$107811\div3=3\times3\times3\times3\times11\times11\times11\div3$
$=3\times3\times3\times11\times11\times11$
因此，必須除以的最小的數是 3，才能使商為完全立方數。
(vii) 35721 的質因數分解為 $3\times3\times3\times3\times3\times3\times7\times7$
將因子分組為三個相等因子的三元組，我們發現 $7\times7$ 不是一個完整的三元組。
因此，將 35721 除以 $7\times7=49$，我們得到：
$35721\div49=3\times3\times3\times3\times3\times3\times7\times7\div49$
$=3\times3\times3\times3\times3\times3$
因此，必須除以的最小的數是 49，才能使商為完全立方數。
(viii) 243000 的質因數分解為 $2\times2\times2\times3\times3\times3\times3\times3\times5\times5\times5$
將因子分組為三個相等因子的三元組，我們發現 $3\times3$ 不是一個完整的三元組。
因此，將 243000 除以 $3\times3=9$，我們得到：
$243000\div9=2\times2\times2\times3\times3\times3\times3\times3\times5\times5\times5\div9$
$=2\times2\times2\times3\times3\times3\times5\times5\times5$
因此，必須除以的最小的數是 9，才能使商為完全立方數。
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