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法律研究(a) 三個電阻，阻值分別為R1、R2和R3，連線方式為(i)串聯，和(ii)並聯。分別寫出這兩種情況下等效電阻的表示式。(b)兩個相同的電阻，阻值均為12 Ω，連線到一個3 V的電池上。計算最小電阻組合和最大電阻組合消耗功率的比率。
(a) (i) 電阻串聯：
我們知道，在串聯電路中，流過每個電阻的電流相同，電路兩端的電壓是每個元件兩端電壓降的總和。
$\therefore V=V_1+V_2+V_3$
根據歐姆定律，我們有：
$V=I\times R$
代入每個電阻的V值，我們得到：
$IR_S=IR_1+IR_2+IR_3$
$IR_S=I(R_1+R_2+R_3)$
$R_S=R_1+R_2+R_3$
這裡，$R_S$=串聯等效電阻。
(a) (ii) 電阻並聯：
我們知道，在並聯電路中，每個電阻兩端的電壓相同，總電流是流過每個元件的電流之和。
$\therefore I=I_1+I_2+I_3$
根據歐姆定律，我們有：
$I=\frac {V}{R}$
代入每個電阻的I值，我們得到：
$\frac {V}{R_P}=\frac {V}{R_1}+\frac {V}{R_2}+\frac {V}{R_3}$
$\frac {1}{R_P}=\frac {1}{R_1}+\frac {1}{R_2}+\frac {1}{R_3}$
這裡，$R_P$=並聯等效電阻。
(b) 已知
電阻，$R_1=R_2=12\Omega$
電壓，$V=3V$。
求解：最小電阻組合（並聯）和最大電阻組合（串聯）消耗功率的比率，$\frac {P_{min}}{P_{max}}$。
解答：(i) 最大電阻 ⇒ 串聯組合
串聯時，總電阻為：
$R_S=R_1+R_2$
$R_S=12+12$
$R_S=24\Omega$
因此，串聯總電阻$R_S$為 $24\Omega$
現在，
我們知道，電阻消耗的功率為：
$功率=\frac{電壓^2}{電阻}$ 或， $P = \frac{V^2}{R}$
代入V和R的值，我們得到：
$P_S=\frac{3^2}{24}$
$P_S=\frac{9}{24}$
$P_S=\frac{3}{8}$
$P_S=0.37W$
因此，串聯消耗的功率$P_S$為0.37瓦。
(ii) 最小電阻 ⇒ 並聯組合
並聯時，總電阻為：
$\frac{1}{R_P}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$
$\frac{1}{R_P}=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}$
$\frac{1}{R_P}=\frac{1+1}{12}$
$\frac{1}{R_P}=\frac{2}{12}$
$\frac{1}{R_P}=\frac{1}{6}$
$R_P=6\Omega$
因此，並聯等效電阻$R_P$為 $6\Omega$
現在，
我們知道，電阻消耗的功率為：
$功率=\frac{電壓^2}{電阻}$ 或， $P = \frac{V^2}{R}$
代入V和R的值，我們得到：
$P_R=\frac{3^2}{6}$
$P_R=\frac{9}{6}$
$P_R=\frac{3}{2}$
$P_R=1.5W$
因此，並聯消耗的功率$P_R$為1.5瓦。
兩種組合消耗功率的比率為：
$\frac {P_{min}}{P_{max}}=\frac {P_S}{P_R}=\frac{\frac {3}{8}}{\frac {3}{2}}=\frac {3}{8}\times {\frac {2}{3}}=\frac {2}{8}=\frac {1}{4}=1:4$
因此，最小電阻組合（並聯）和最大電阻組合（串聯）消耗功率的比率為1:4。
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