在以下哪些情況下,所涉及的數字列表構成一個等差數列,為什麼?
(i) 當計程車起步價為 15 盧比/公里,之後每公里 8 盧比時,每次行駛 1 公里後的計程車車費。
(ii) 當真空泵每次抽走汽缸中剩餘空氣的 $\frac{1}{4}$ 時,汽缸中剩餘空氣的量。
(iii) 當挖一口井,第一米花費 150 盧比,之後每米增加 50 盧比時,每挖一米後的挖井成本。
(iv) 當存入 10000 盧比,年利率為 8% 的複利時,每年賬戶中的金額。
待辦事項
我們需要確定給定的情況是否成立。
解決方案
(i) 當計程車起步價為 15 盧比/公里,之後每公里 8 盧比時,每次行駛 1 公里後的計程車車費。
假設
$a_1 = 15 盧比$
這意味著,
$a_2 = 15 盧比 + 8 盧比 = 23 盧比$
$a_3 = 23 盧比 + 8 盧比 = 31 盧比$
現在,車費列表為 $15 盧比, 23 盧比, 31 盧比$
$a_2 - a_1 = 23 盧比 - 15 盧比$
$= 8 盧比$
$a_3 - a_2 = 31 盧比 - 23 盧比$
$= 8 盧比$
這裡,
$a_2 - a_1 = a_3 - a_2$
因此,給定的車費列表構成一個等差數列。
(ii) 當真空泵每次抽走汽缸中剩餘空氣的 $\frac{1}{4}$ 時,汽缸中剩餘空氣的量。
假設汽缸中剩餘空氣的初始值為 $1$。 第一次抽走的空氣量 $=1\times\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$
第一次抽氣後剩餘空氣量 $=1-\frac{1}{4}=\frac{1\times4-1}{4}=\frac{3}{4}$
第二次抽走的空氣量 $=\frac{3}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{3}{16}$
第二次抽氣後剩餘空氣量 $=\frac{3}{4}-\frac{3}{16}=\frac{4\times3-3}{16}=\frac{9}{16}$
第三次抽走的空氣量 $=\frac{9}{16}\times\frac{1}{4}=\frac{9}{64}$
第三次抽氣後剩餘空氣量 $=\frac{9}{16}-\frac{9}{64}=\frac{9\times4-9}{64}=\frac{27}{64}$
當真空泵每次抽走汽缸中剩餘空氣的 $\frac{1}{4}$ 時,汽缸中剩餘空氣的量構成如下數列
$1, \frac{3}{4}, \frac{9}{16}, \frac{27}{64}, ........$
$\frac{3}{4}-1=\frac{-1}{4}$, $\frac{9}{16}-\frac{3}{4}=\frac{-3}{16}$
$\frac{-1}{4}≠\frac{-3}{16}$
因此,該數列不構成等差數列。
(iii) 當挖一口井,第一米花費 150 盧比,之後每米增加 50 盧比時,每挖一米後的挖井成本。
挖井前一米的花費$= 150 盧比$。
挖井前兩米的花費$= (150+50) 盧比= 200 盧比$。
挖井前三米的花費$= (200+50) 盧比= 250 盧比$。
挖井前四米的花費$= (250+50) 盧比= 300 盧比$。
每挖一米後的挖井成本(以盧比為單位)構成如下數列
$150, 200, 250, 300, ........$
這裡,$a=150$ 且 $d=200-150=50$。
因此,該數列構成一個等差數列。
(iv) 當存入 10000 盧比,年利率為 8% 的複利時,每年賬戶中的金額。
假設
$a_1 = 10000 盧比$
這意味著,
$a_2 = 10000 盧比 + 10000 盧比 \times \frac{8}{100}$
$= 10000 盧比 + 800 盧比$
$= 10800 盧比$
$a_3 = 10800 盧比 + 10800 盧比 \times 8100$
$= 10800 盧比 + 864 盧比$
$= 11664 盧比$
$a_2 - a_1 = 10800 盧比 - 10000 盧比$
$= 800 盧比$
$a_3 - a_2 = 11664 盧比 - 10800 盧比$
$= 864 盧比$
$a_3 - a_2 ≠ a_2 - a_1$
因此,給定的資訊不構成等差數列。