在給定圖形中，圓的兩條弦$AB$和$CD$（延長後）在圓外一點$P$處相交。
(i) $∆PAC \sim ∆PDB$。
(ii) $PA \times PB = PC \times PD$。
"

已知

圓的兩條弦$AB$和$CD$（延長後）在圓外一點$P$處相交。

需要證明

我們需要證明

(i) $∆PAC \sim ∆PDB$。

(ii) $PA \times PB = PC \times PD$。

解答

 (i) 在$\triangle \mathrm{PAC}$和$\triangle \mathrm{PBD}$中，

$\angle \mathrm{APC}=\angle \mathrm{BPD}$        (公共角)

$\angle \mathrm{ACP}=\angle \mathrm{ABD}$        (在圓內接四邊形中，內角等於其對角的外角)

因此，根據角角相似，

$\triangle \mathrm{PAC} \sim \triangle \mathrm{PDB}$

證畢。

(ii)  在$\triangle \mathrm{PAC}$和$\triangle \mathrm{PBD}$中，

$\angle \mathrm{APC}=\angle \mathrm{BPD}$        (公共角)

$\angle \mathrm{ACP}=\angle \mathrm{ABD}$        (在圓內接四邊形中，內角等於其對角的外角)

因此，根據角角相似，

$\triangle \mathrm{PAC} \sim \triangle \mathrm{PDB}$

這意味著，

$\frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{PB}}=\frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{PD}}$

$\mathrm{PC} \times \mathrm{PD}=\mathrm{PA} \times \mathrm{PB}$

證畢。

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更新於: 2022年10月10日

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