MATLAB 中影像的正向和逆向傅立葉變換

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在數學中，傅立葉變換是一種用於將函式或訊號從時域轉換為頻域的數學工具。它廣泛應用於訊號處理、通訊、影像處理和分析等領域。

在使用 MATLAB 查詢影像的正向和逆向傅立葉變換之前，讓我們先簡要概述一下傅立葉變換及其逆變換。

正向傅立葉變換

傅立葉變換或正向傅立葉變換是一種數學運算，用於將訊號從時域轉換為頻域。

因此，正向傅立葉變換以其頻率成分來表示訊號。當我們對訊號執行正向傅立葉變換時，它會生成一個復值函式，該函式表示輸入訊號在不同頻率下的幅度和相位。

在數學上，時域訊號“x(t)”的傅立葉變換定義為：

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{−j\omega t}dt}$$

其中，X(ω) 是 x(t) 的傅立葉變換。

現在，讓我們討論逆傅立葉變換。

逆傅立葉變換

逆傅立葉變換是正向傅立葉變換的反向操作。它被定義為一種數學運算，將頻域訊號轉換為時域訊號。

在訊號處理中，它主要用於從變換後的訊號重建原始訊號。

在數學上，頻域訊號的逆傅立葉變換可以定義為：

$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi} \int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}\:d\omega}$$

這裡，x(t) 是從其傅立葉變換版本重建的訊號。

這就是關於正向傅立葉變換和逆正向傅立葉變換的所有內容。現在讓我們討論如何使用 MATLAB 查詢影像的正向和逆向傅立葉變換。

使用 MATLAB 進行影像的正向傅立葉變換

在 MATLAB 中，我們可以使用“fft2”函式來執行影像的正向傅立葉變換。下面解釋了使用 MATLAB 查詢影像的正向傅立葉變換的分步過程

步驟 (1) – 讀取原始輸入影像，並在需要時將其轉換為灰度影像。

步驟 (2) – 使用“fft2”函式執行影像的傅立葉變換。

步驟 (3) – 使用“fftshift”函式將傅立葉變換從角點移到中心。

步驟 (4) – 取移位傅立葉變換的絕對值以計算其幅度譜。

步驟 (5) – 顯示傅立葉變換的幅度譜。

示例

現在，讓我們考慮一個 MATLAB 中的示例程式，以便更好地理解這個概念。

% MATLAB code to find forward Fourier transform of an image
% Read the original input image
img = imread('https://tutorialspoint.tw/assets/questions/media/14304-1687425236.jpg');

% Convert the input image to grayscale
gray_img = rgb2gray(img);

% Calculate Fourier Transform of the image
FT = fftshift(fft2(gray_img));

% Calculate the magnitude spectrum of Fourier transform
mag_spect = abs(FT);

% Take the log of magnitude spectrum 
mag_spect_log = log(1 + mag_spect);	% Adding 1 to avoid log(0)

% Display the magnitude spectrum of the Fourier transform
figure;
subplot(1, 2, 1);
imshow(mag_spect, []);
title('Magnitude Spectrum of FT');

subplot(1, 2, 2);
imshow(mag_spect_log, []);
title('Log Magnitude Spectrum of FT');
colormap(gca, 'jet');
colorbar;

輸出

這就是我們如何在 MATLAB 中查詢影像的正向傅立葉變換的方法。現在，讓我們學習如何查詢影像的逆傅立葉變換。

使用 MATLAB 進行影像的逆傅立葉變換

MATLAB 提供了一個內建函式“ifft2”來查詢函式或訊號的逆傅立葉變換。

在這裡，我們解釋了使用 MATLAB 查詢影像的逆傅立葉變換的分步過程

步驟 (1) – 讀取傅立葉變換後的影像。

步驟 (2) – 應用“ifft2”函式查詢逆傅立葉變換後的影像。

步驟 (3) – 取逆傅立葉變換後圖像的絕對值的 log 值。

步驟 (4) – 顯示逆傅立葉變換後的影像。

示例

以下示例程式演示了這些步驟的實際實現，以使用 MATLAB 查詢影像的逆傅立葉變換。

% MATLAB code to perform Inverse Fourier Transform of an image
% Read the original input image
img = imread('https://tutorialspoint.tw/assets/questions/media/14304-1687425236.jpg');

% Convert the input image to grayscale
gray_img = rgb2gray(img);

% Calculate Fourier Transform of the image
FT = fftshift(fft2(gray_img));

% Find inverse Fourier Transform of the Fourier transformed image 
inverse_FT_img = ifft2(ifftshift(FT));	% FT is the Fourier transformed image

% Take the log of the absolute value of the inverse transformed image
inverse_FT_img_log = log(abs(inverse_FT_img));

% Display the original, log-transformed, and inverse transformed images
subplot(2, 2, 1);
imshow(gray_img);
title('Original Image');

subplot(2, 2, 2);
imshow(inverse_FT_img_log, []);
title('Log Inverse Transformed Image');

subplot(2, 2, 3);
imshow(abs(inverse_FT_img), []);
title('Inverse Transformed Image');

輸出

這就是我們如何在 MATLAB 中透過遵循簡單的步驟查詢影像的逆傅立葉變換的方法。

結論

在本教程中，我們解釋了傅立葉變換 (FT) 和逆傅立葉變換 (IFT) 的概念。我們還透過示例程式解釋瞭如何在 MATLAB 中查詢正向傅立葉變換和逆傅立葉變換。您可以使用自己的影像嘗試以上程式碼來查詢它們的 FT 和 IFT。