數字通訊 - 取樣
取樣定義為：“以離散形式測量連續時間訊號瞬時值的過程。”
樣本是從整體資料中提取的一段資料，在時域上是連續的。
當信源產生模擬訊號，並且該訊號需要被數字化，即具有1和0（高或低）時，該訊號必須在時間上離散化。這種模擬訊號的離散化稱為取樣。
下圖顯示了連續時間訊號x(t)和取樣訊號xs(t)。當x(t)與週期性脈衝序列相乘時，得到取樣訊號xs(t)。
取樣率
為了使訊號離散化，樣本之間的間隔應該固定。該間隔可以稱為取樣週期Ts。
$$取樣頻率 = \frac{1}{T_{s}} = f_s$$其中：
$T_{s}$為取樣時間
$f_{s}$為取樣頻率或採樣率
取樣頻率是取樣週期的倒數。這個取樣頻率可以簡單地稱為取樣率。取樣率表示每秒採集的樣本數，或有限值集的樣本數。
為了從數字化訊號重建模擬訊號，必須高度重視取樣率。取樣率應使得訊息訊號中的資料既不會丟失也不會重疊。因此，為此確定了一個速率，稱為奈奎斯特率。
奈奎斯特率
假設一個訊號是帶限的，沒有高於W赫茲的頻率分量。這意味著W是最高頻率。對於這樣的訊號，為了有效地再現原始訊號，取樣率應為最高頻率的兩倍。
這意味著：
$$f_{S} = 2W$$其中：
$f_{S}$是取樣率
W是最高頻率
這種取樣率稱為奈奎斯特率。
一個稱為取樣定理的定理是基於這個奈奎斯特率的理論。
取樣定理
取樣定理，也稱為奈奎斯特定理，根據帶限函式類的頻寬，提供了關於足夠取樣率的理論。
取樣定理指出：“如果以大於最大頻率W兩倍的速率fs對訊號進行取樣，則可以精確地再現該訊號。”
為了理解這個取樣定理，讓我們考慮一個帶限訊號，即其值在某個–W和W赫茲之間非零的訊號。
這樣的訊號表示為$x(f) = 0 對於 |f| > W$
對於連續時間訊號x(t)，頻域中的帶限訊號可以如下圖所示。
我們需要一個取樣頻率，在這個頻率下，即使在取樣後也不會有資訊丟失。為此，我們有奈奎斯特率，即取樣頻率應為最大頻率的兩倍。這是臨界的取樣率。
如果訊號x(t)的取樣率高於奈奎斯特率，則可以恢復原始訊號；如果取樣率低於奈奎斯特率，則無法恢復訊號。
下圖解釋了在頻域中以高於2w的速率取樣的訊號。
上圖顯示了訊號$x_{s}(t)$的傅立葉變換。在這裡，資訊在沒有任何損失的情況下被再現。沒有混合，因此可以恢復。
訊號$x_{s}(t)$的傅立葉變換是
$$X_{s}(w) = \frac{1}{T_{s}}\sum_{n = - \infty}^\infty X(w-nw_0)$$其中$T_{s}$ = 取樣週期，$w_{0} = \frac{2 \pi}{T_s}$
讓我們看看如果取樣率等於最高頻率的兩倍(2W)會發生什麼
這意味著：
$$f_{s} = 2W$$其中：
$f_{s}$是取樣頻率
W是最高頻率
結果將如上圖所示。資訊在沒有任何損失的情況下被替換。因此，這也是一個良好的取樣率。
現在，讓我們來看一下這個條件：
$$f_{s} < 2W$$所得圖案將如下圖所示。
從上圖可以看出，資訊發生了重疊，導致資訊混合和丟失。這種不希望出現的重疊現象稱為混疊。
混疊
混疊可以指“訊號頻譜中的高頻分量在其取樣版本的頻譜中呈現為低頻分量的現象”。
為減少混疊效應而採取的糾正措施包括：
在PCM的發射機部分，在取樣器之前採用低通抗混疊濾波器，以消除不需要的高頻分量。
經過濾波後取樣的訊號以略高於奈奎斯特率的速率進行取樣。
選擇高於奈奎斯特率的取樣率也有助於更容易設計接收端的重建濾波器。
傅立葉變換的範圍
通常觀察到，我們在分析訊號和證明定理時會藉助傅立葉級數和傅立葉變換。這是因為：
傅立葉變換是非週期訊號的傅立葉級數的擴充套件。
傅立葉變換是一種強大的數學工具，它有助於在不同的域中檢視訊號，並有助於輕鬆地分析訊號。
使用傅立葉變換，任何訊號都可以分解為正弦和餘弦的總和。
在下一章中，我們將討論量化的概念。