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法學一個高32釐米，底面半徑18釐米的圓柱形水桶裝滿了沙子。將桶裡的沙子倒在地上，形成一個圓錐形的沙堆。如果圓錐形沙堆的高度是24釐米，求沙堆的半徑和斜高。
已知
一個高\( 32 \mathrm{~cm} \) ，底面半徑\( 18 \mathrm{~cm} \)的圓柱形水桶裝滿了沙子。
將桶裡的沙子倒在地上，形成一個圓錐形的沙堆。
圓錐形沙堆的高度是\( 24 \mathrm{~cm} \)
求解
我們需要求出沙堆的半徑和斜高。
解答
圓柱形水桶的半徑 $r=18 \mathrm{~cm}$
圓柱形水桶的高度 $h=32 \mathrm{~cm}$
這意味著：
水桶中沙子的體積 $=\pi r^{2} h$
$=\pi(18)^{2} \times 32$
$=\pi \times 324 \times 32$
$=10368 \pi \mathrm{cm}^{3}$
圓錐形沙堆的高度 $H=24 \mathrm{~cm}$ 設圓錐形沙堆的半徑為 $R$。
這意味著：
圓錐形沙堆的體積 $=\frac{1}{3} \pi R^{2} H$
$\Rightarrow 10368 \pi=\frac{1}{3} \times \pi R^{2} \times 24$
$\Rightarrow R^{2}=\frac{10368 \pi \times 3}{\pi \times 24}$
$=1296$
$=(36)^{2}$
$\Rightarrow R=36 \mathrm{~cm}$
因此：
圓錐形沙堆的半徑 $=36 \mathrm{~cm}$
沙堆的斜高 $l=\sqrt{R^{2}+H^{2}}$
$=\sqrt{(36)^{2}+(24)^{2}}$
$=\sqrt{1296+576}$
$=\sqrt{1872}$
$=\sqrt{144\times13}$
$=12\sqrt{13}\ cm$
沙堆的半徑和斜高分別為 $36\ cm$ 和 $12\sqrt{13}\ cm$。
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