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法學利用拉普拉斯變換分析串聯RC電路的階躍響應和衝激響應
圖1所示為一個由電阻(R)和電容(C)串聯組成的電路。假設開關(S)在t=0時閉合。
利用拉普拉斯變換求解串聯RC電路的階躍響應
為了獲得串聯RC電路的階躍響應，施加的輸入為：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}Vu\left ( t \right )}}$$
根據基爾霍夫電壓定律(KVL)，串聯RC電路的描述方程為：
$$\mathrm{\mathit{Vu\left ( t \right )\mathrm{=}Ri\left ( t \right )\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\int_{-\infty }^{t}i\left ( t \right )dt}}$$
該方程可以寫成：
$$\mathrm{\mathit{Vu\left ( t \right )\mathrm{=}Ri\left ( t \right )\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\int_{-\infty }^{\mathrm{0}}i\left ( t \right )dt\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\int_{\mathrm{0} }^{t}i\left ( t \right )dt}}$$
對等式兩邊進行拉普拉斯變換：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ Vu\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}L\left [ Ri\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\: +\: }L\left [ \frac{\mathrm{1}}{C}\int_{-\infty }^{\mathrm{0}}i\left ( t \right )dt \right ]\mathrm{\: +\: }L\left [ \frac{\mathrm{1}}{C}\int_{\mathrm{0} }^{t}i\left ( t \right )dt \right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow \frac{V}{s}\mathrm{=}RI\left ( s \right )\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\left [ \frac{I\left ( s \right )}{s} \right ]\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\left [ \frac{q\left ( \mathrm{0^{\mathrm{\: +\: }}} \right )}{s} \right ] }}$$
其中，$\mathrm{\mathit{q\left ( \mathrm{0^{\mathrm{\: +\: }}} \right )}}$是t=(0⁺)時刻電容上的電荷，即初始電荷。如果忽略初始條件，則：
$$\mathrm{\mathit{\frac{V}{s}\mathrm{=}RI\left ( s \right )\mathrm{\: +\: }\frac{I\left ( s \right )}{sC}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{\frac{V}{s}\mathrm{=}I\left ( s \right )\left ( R\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{sC} \right )}}$$
因此，電路中的電流為：
$$\mathrm{\mathit{I\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{V}{s\left ( R\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{sC} \right )}\mathrm{=}\frac{V}{s}\left ( \frac{sC}{sRC\mathrm{\: +\: }\mathrm{1}} \right )\mathrm{=}\frac{VC}{RC\left ( s\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{RC} \right )}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{I\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{V}{R}\left [ \frac{\mathrm{1}}{\left ( s \mathrm{\: +\: } \frac{\mathrm{1}}{RC} \right )} \right ]}}$$
對等式兩邊進行拉普拉斯反變換，得到：
$$\mathrm{\mathit{i\left ( t \right )\mathrm{=}\frac{V}{R}e^{-\left ( \mathrm{1}/RC \right )t}}}$$
這就是串聯RC電路的**階躍響應**。
利用拉普拉斯變換求解串聯RC電路的衝激響應
為了獲得串聯RC電路（如圖1所示）的衝激響應，施加的輸入為：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}\delta \left ( t \right )}}$$
因此，描述系統的方程為：
$$\mathrm{\mathit{\delta \left ( t \right )\mathrm{=}Ri\left ( t \right )\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\int_{-\infty }^{t}i\left ( t \right )dt\mathrm{=}Ri\left ( t \right )\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\int_{-\infty }^{\mathrm{0}}i\left ( t \right )dt\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\int_{\mathrm{0} }^{t}i\left ( t \right )dt}}$$
對等式兩邊進行拉普拉斯變換，得到：
$$\mathrm{\mathit{\mathrm{1}\mathrm{=}RI\left ( s \right )\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\left [ \frac{I\left ( s \right )}{s} \right ]\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\left [ \frac{q\left ( \mathrm{0^{\mathrm{\: +\: }}} \right )}{s} \right ] }}$$
其中，$\mathrm{\mathit{q\left ( \mathrm{0^{\mathrm{\: +\: }}} \right )}}$是電容上的初始電荷，忽略初始條件，得到：
$$\mathrm{\mathit{\mathrm{1}\mathrm{=}RI\left ( s \right )\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\left [ \frac{I\left ( s \right )}{s} \right ]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{\left ( R\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{sC} \right )I\left ( s \right )\mathrm{=}\mathrm{1}}}$$
因此，流過電路的電流為
$$\mathrm{ \mathit{I\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\left ( R\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{sC} \right )}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{R\left ( \mathrm{1}\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{sRC} \right )}\mathrm{=}\frac{sRC}{R\left ( sRC\mathrm{\: +\: }\mathrm{1} \right )}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{I\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{sC}{\left ( sRC\mathrm{\: +\: }\mathrm{1} \right )}\mathrm{=}\frac{sC}{RC\left ( s\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{RC} \right )}\mathrm{=}\frac{s}{R\left ( s\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{RC} \right )}}}$$
在上述方程右邊分子中加減$\mathrm{\mathit{\left ( \mathrm{1}/Rc \right )}}$，得到：
$$\mathrm{\mathit{I\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{R}\left [ \frac{\left ( s\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{RC}\right )-\left ( \frac{\mathrm{1}}{RC} \right ) }{\left ( s\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{RC}\right )} \right ]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{I\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{R}\left\{\mathrm{1}-\frac{\mathrm{1}}{RC}\left [ \frac{\mathrm{1}}{\left ( s\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{RC} \right )} \right ] \right\}}}$$
現在對等式兩邊進行拉普拉斯反變換，得到：
$$\mathrm{\mathit{i\left ( t \right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{R}\left [ \delta \left ( t \right )-\frac{\mathrm{1}}{RC}e^{-\left ( {\mathrm{1}}/RC \right )t}u\left ( t \right ) \right ]}}$$
這就是串聯RC電路的**衝激響應**。
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