二次方程練習題

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簡介

二次方程是一個最高次數為二的多項式方程。滿足二次方程的值稱為二次方程的根。求解二次方程並找到其根的方法有很多。可以使用因式分解法（拆分中間項）、將二次方程轉換為完全平方和使用二次公式來計算根。

二次方程

• 二次方程是一個一元二次多項式方程。

• 二次方程的一般形式為 f(x)=ax²+bx+c=0，其中 x 是未知變數，a≠0，且 a、b、c ∈ R。

• a 是二次方程的最高次項係數，c 是二次方程的常數項。例如：3x²+5x+6=0，-x²+2x-1=0 等…

求解二次方程的方法

將未知變數的值代入二次方程後結果為零的值稱為二次方程的根。由於二次方程的次數等於二，因此它有兩個根。

以下方法用於計算根或求解二次方程：

配方法

考慮二次方程 f(x)=ax²+bx+c=0，其中 x 是未知變數，a≠0，且 a、b、c ∈ R。現在，要使用配方法找到二次方程的根，將 c 移到方程的另一側。

現在確保 x² 的係數為 1。如果 a≠1，則將方程的兩邊除以 a。

$$\mathrm{x^2+\frac{b}{a} x=-\frac{c}{a}}$$

現在，在方程的兩邊加上 $\mathrm{(\frac{b}{2a})^2}$ 以在左側形成一個完全平方，或者如果 a=1，則加上 $\mathrm{(\frac{b}{2})^2}$。

$$\mathrm{x^2+\frac{b}{a} x+ (\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+ (\frac{b}{2a})^2}$$

$$\mathrm{(x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+ (\frac{b}{2a})^2}$$

現在，在方程的兩邊取平方根並求解即可得到二次方程的根。

配方法示例

1) 使用配方法求解二次方程 x^2+6x-7=0？

將常數項移到方程的另一側，

$$\mathrm{x^2+6x=7}$$

x² 的係數為 1，因此在方程的兩邊加上 $\mathrm{(\frac{b}{2})^2}$ 以在左側形成一個完全平方。

在方程的兩邊加上 (3)²，

$$\mathrm{x^2+6x+9=7+9=16}$$

$$\mathrm{(x+3)^2=16}$$

現在，在兩邊取平方根得到，

$$\mathrm{x+3=±4}$$

x+3=4 和 x+3=-4

x=1，-7 是根。

2) 使用配方法求解二次方程 2x²+5x+3=0？

將常數項移到方程的另一側，

$$\mathrm{2x^2+5x=-3}$$

x² 的係數為 2，因此將方程除以 $\mathrm{\frac{1}{2}}$。

$$\mathrm{x^2+\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}}$$

在方程的兩邊加上 $\mathrm{(\frac{b}{2a})^2}$ 以在左側形成一個完全平方。zz

在方程的兩邊加上 $\mathrm{(\frac{5}{4})^2}$，

$$\mathrm{x^2+\frac{5}{2} x+(\frac{5}{4})^2=-\frac{3}{2}+(\frac{5}{4})^2}$$

現在，在兩邊取平方根得到，

$$\mathrm{(x+\frac{5}{4})^2=\frac{1}{16}}$$

$$\mathrm{x+\frac{5}{4}=±\frac{1}{4}}$$

x=-1，$\mathrm{-\frac{3}{2}}$ 是根。

二次公式

考慮二次方程 f(x)=ax²+bx+c=0，其中 x 是未知變數，a≠0，且 a、b、c ∈ R。現在，使用二次公式求解二次方程的根為：

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，將 a、b、c 的相應值代入公式。

二次公式示例

1) 使用二次公式求解二次方程 x^2+4x+1=0？

a、b、c 的值分別為 1、4、1。

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，將 a、b、c 的相應值代入公式以得到方程的根。

$$\mathrm{x=\frac{-4±\sqrt{4^2-4}}{2}=\frac{-4±√12}{2}=-2±\sqrt{3}}$$

$\mathrm{-2+\sqrt{3},-2-\sqrt{3}}$ 是根。

2) 使用二次公式求解二次方程 x^2+3x+6=0？

a、b、c 的值分別為 1、3、6。

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，將 a、b、c 的相應值代入公式以得到方程的根。

$$\mathrm{x=\frac{-3±\sqrt{3^2-24}}{2}=\frac{-3±\sqrt{-15}}{2}=\frac{-3±i\sqrt{15}}{2}}$$

$\mathrm{\frac{-3+i\sqrt{15}}{2},\frac{-3-i\sqrt{15}}{2}}$ 是根。

因式分解法（拆分中間項）

考慮二次方程 f(x)=ax^2+bx+c=0。現在，要使用因式分解法（拆分中間項）找到二次方程的根，讓我們取兩個數 p、q，使得這兩個數的積等於 a 和 c 的積，這兩個數的和等於 b。

p×q=a×c 且 p+q=b

現在代入 p+q=b

$$\mathrm{\mathit{f}(x)=ax^2+(p+q)x+c=0}$$

$$\mathrm{\mathit{f}(x)=ax^2+px+qx+c=0}$$

現在使用 p×q=a×c 取出公因數並將方程寫成兩個因式的乘積，然後將每個因式分別等於零，從而得到 x 的兩個值，這兩個值就是根。

拆分中間項示例

1) 使用因式分解法（拆分中間項）求解二次方程 x^2+7x+12=0？

a、b、c 的值分別為 1、7、12。

讓我們取 a、c 的積，即 12。現在，寫下 12 的因數。

12 的因數 = 1、2、3、4、6、12

現在，查詢兩個因數，它們的積等於 12，和等於 7。

3、4 滿足條件。

現在，在二次方程中使用和拆分中間項

$$\mathrm{x^2+7x+12=0}$$

$$\mathrm{x^2+3x+4x+12=0}$$

現在，取公因數

$$\mathrm{x(x+3)+4(x+3)=0}$$

再次取出公因數，將上述方程寫成兩個因式的乘積。

$$\mathrm{(x+3)(x+4)=0}$$

這兩個是二次方程的因式，分別求解線性方程以得到二次方程的根。

$$\mathrm{x+3=0; x+4=0}$$

x=-3，-4 是根。

2) 使用因式分解法（拆分中間項）求解二次方程 x^2-5x+6=0？

a、b、c 的值分別為 1、-5、6。

讓我們取 a、c 的積，即 6。現在，寫下 6 的因數。

6 的因數 = 1、2、3、6

現在，查詢兩個因數，它們的積等於 6，和等於 5。

-2，-3 滿足條件。

現在，在二次方程中使用和拆分中間項

$$\mathrm{x^2-5x+6=0}$$

$$\mathrm{x^2-2x-3x+6=0}$$

現在，取公因數

$$\mathrm{x(x-2)-3(x-2)=0}$$

再次取出公因數，將上述方程寫成兩個因式的乘積。

$$\mathrm{(x-2)(x-3)=0}$$

這兩個是二次方程的因式，分別求解線性方程以得到二次方程的根。

$$\mathrm{x-2=0; x-3=0}$$

x=2，3 是根。

結論

在本教程中，我們學習了二次方程、求解二次方程的方法、因式分解法（拆分中間項）及其示例、配方法及其示例、二次公式及其示例。

常見問題

1.二次方程 2x²+3x+4=0 中最高次項係數的值是多少？

最高次項係數的值為 2。

2.二次方程 ax²+bx+c=0 的二次公式是什麼？

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，將 a、b、c 的相應值代入公式。

3.求解二次方程的方法有哪些？

• 因式分解法（拆分中間項）

• 配方法

• 二次公式

4.二次方程 x²-2x+5=0 中常數項的值是多少？

常數項的值等於 5。

5.如果多項式方程中 x² 的係數等於零會怎樣？

那麼該多項式方程不是二次方程。