二次方程根的性質

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簡介

• 二次方程ax²+bx+c=0的解稱為二次方程的根。

• 它們是方程所需的變數 x 的值。

• 二次函式的 x 截距的 x 座標是函式的根。

• 二次方程最多隻能有兩個根，因為它的次數是 2。

• 這些二次方程根的性質完全取決於決定因素的值，該決定因素稱為二次方程的判別式，我們將在本教程中討論。

二次方程

• 代數中的二次方程是指任何可以轉換為如下標準形式的方程：

  ax²+bx+c=0

• 其中x 代表未知數，a、b 和 c 是已知數，其中a≠0。

• 如果 a = 0，則方程是線性方程，而不是二次方程，因為 ax^2 項不存在。

• 方程的係數，由數字 a、b 和 c 表示，分別稱為二次係數、一次係數和常數或自由項。

示例

x²+x+1=0、5x²-2=0、x²=0 是二次方程。（因為其最高次數為 2）

二次公式

• 如果 ax²+bx+c=0 是給定的二次方程，則求解此二次方程根的二次公式由下式給出：

  $$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.}$$

• 這兩個答案中的每一個也稱為二次方程根（或零點）。

• 從幾何上講，這些根表示每個拋物線（特別是指定為 ax²+bx+c=y）與 x 軸相交的 x 值。

• 二次公式可用於確定任何拋物線的零點，以及拋物線的對稱軸和二次方程中實零點的總數。

判別式

• 數學中多項式的判別式是一個取決於係數並確定根的不同特徵的數。

• 它通常被描述為原始多項式係數的多項式函式。

• 在數論、代數幾何和多項式因式分解中，判別式經常使用。符號 $\mathrm{\Delta}$ 常用於表示它。

對於 a≠0 的二次多項式 ax²+bx+c，其判別式為：

$$\mathrm{\Delta =b^2-4ac}$$

根據判別式的值確定根的性質

Δ=b²-4ac 是二次方程 ax²+bx+c=0 的判別式值

• 如果 Δ=0，則二次方程的兩個根為實數且相等。

• 如果 Δ>0，則二次方程的兩個根為實數且不相等。

• 如果 Δ < 0，則二次方程的兩個根為非實數。

解題示例

1. 方程 x-2x²=0 是否為二次方程？

解答

代數中的二次方程是指任何可以轉換為如下標準形式的方程：ax²+bx+c=0

由於 -2x²+x+0=0 符合 ax²+bx+c=0 的形式，因此給定方程是二次方程。

2. 二次多項式 x²-3x+7 的係數是什麼？

解答

代數中的二次多項式是指任何可以轉換為如下標準形式的多項式：ax²+bx+c。由於給定的多項式 x²-3x+7 符合 ax²+bx+c 的形式，因此係數為 a=1，b=-3，c=7

3. 確定以下二次方程 x²-8x=0 的判別式的值。

解答

Δ=b²-4ac 是二次方程 ax²+bx+c=0 的判別式值

因此，給定方程 x²-8x=0 的判別式的值由下式給出：

$$\mathrm{\Delta=(-8)^2-4(1)(0)=64-0=64}$$

因此，給定方程的判別式的值為 64。

4. 二次方程 2x²-4x+4=0 的根的性質是什麼？

解答

Δ=b²-4ac 是二次方程 ax²+bx+c=0 的判別式值，二次方程根的性質由該判別式的值決定。我們首先計算此處判別式的值，如下所示：

$$\mathrm{\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4(2)(4)=16-32=-16< 0}$$

如果 Δ < 0，則二次方程的兩個根為非實數。因此，二次方程的根是非實數值，我們也稱之為複數。也就是說，給定方程的根是複數值。

5. 使用因式分解法計算二次方程 x²-7x=0 的零點，並說明此二次方程根的性質。

解答

$$\mathrm{x^2-7x=0}$$

$$\mathrm{x(x-7)=0}$$

$$\mathrm{x=0,x=7}$$

由於零點 0 和 7 是實數且不同的數。因此，給定二次方程根的性質是實數且不同。

結論

在本文中，我們學習了二次方程及其根、求解二次方程根的判別式方法，以及判別式的值如何幫助確定二次方程根的性質。

常見問題解答

1. 二次方程的關鍵三個組成部分是什麼？

"ax²+bx+c" 中的 "a"、"b" 和 "c"，它們只是數字，是二次方程 ax²+bx+c=0 的 "數值係數"，它們是給您用來求解的，並用於二次公式。因此，它們是二次方程 ax²+bx+c=0 的關鍵組成部分。

2. 求解二次方程的四種方法有哪些？

求解二次問題的四種方法是因式分解、使用平方根、配方法和二次公式。

3. 為什麼一個方程被稱為二次方程？

在數學中，二次方程是一種特定型別的方程，它涉及平方，或將變數乘以自身。這個術語來源於這樣一個事實：正方形的面積等於其邊長的乘積本身。“二次”一詞源於拉丁語“quadratum”，意思是正方形。

4. 根的形成取決於什麼？

判別式決定了二次方程根的特徵。“性質”指的是可能存在的不同型別的根，包括實數、有理數、無理數和虛數。

5. 如何判斷兩個根是否相等？

為了理解二次方程的根的型別（形式為 ax²+bx+c=0），必須計算判別式，它等於 b²-4ac。當判別式大於零時，根是不相等且為實數。當判別式等於零時，根是相等且為實數。

6. 任何拋物線都可以沒有根嗎？

如果二次函式的判別式小於零，則該函式沒有實根，並且它所表示的拋物線不與 x 軸相交。因此，如果拋物線不與 x 軸相交或相切，則它可以沒有根。

7. 如何判斷根是有理數還是無理數？

如果判別式為正數且為完全平方數，則根是有理數或無理數。如果判別式為正數且不是完全平方數，則根為無理數。