二次方程問題

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引言

二次方程是最高次數為二的多項式方程。滿足二次方程的值稱為其根。求解二次方程並找到其根的方法有幾種。可以使用分解法（拆分中間項）、將二次方程轉化為完全平方和使用二次公式來計算根。

二次方程

二次方程是一個關於一個變數的，次數為二的多項式方程。二次方程的一般形式為f(x)=ax²+bx+c=0，其中x是未知變數，a≠0，且a,b,c∈R。a是二次方程的最高次項係數，c是二次方程的常數項。例如：3x²+5x+6=0，-x²+2x-1=0，等等……

求解二次方程的方法

將未知變數的值代入二次方程後結果為零的值稱為二次方程的根。由於二次方程的次數為二，因此它有兩個根。

以下方法用於計算根或求解二次方程：

用拆分中間項法分解因式

考慮二次方程f(x)=ax^2+bx+c=0。現在，為了使用拆分中間項法求解二次方程的根，讓我們取兩個數p,q，使得這兩個數的乘積等於a和c的乘積，這兩個數的和等於b。

p×q=a×c 且 p+q=b

現在代入p+q=b

$$\mathrm{\mathit{f}(x)=ax^2+(p+q)x+c=0}$$

$$\mathrm{\mathit{f}(x)=ax^2+px+qx+c=0}$$

現在，利用p×q=a×c提取公因式，將方程寫成兩個因式的乘積，然後將每個因式分別等於零，得到x的兩個值，這就是方程的根。

拆分中間項的例子

1) 使用分解因式法（拆分中間項）求解二次方程x²+7x+12=0？

a,b,c的值分別為1, 7, 12。

讓我們取a,c的乘積，即12。現在，寫下12的因數。

12的因數 = 1, 2, 3, 4, 6, 12

現在，尋找兩個因數，它們的乘積等於12，和等於7。

3, 4滿足條件。

現在，使用這個和來拆分二次方程中的中間項

$$\mathrm{x^2+7x+12=0}$$

$$\mathrm{x^2+3x+4x+12=0}$$

現在，提取公因式

$$\mathrm{x(x+3)+4(x+3)=0}$$

再次提取公因式，將上述方程寫成兩個因式的乘積。

$$\mathrm{(x+3)(x+4)=0}$$

這兩個是二次方程的因式，分別解線性方程以得到二次方程的根。

$$\mathrm{x+3=0; x+4=0}$$

x=-3,-4是方程的根。

2) 使用分解因式法（拆分中間項）求解二次方程x^2-5x+6=0？

a,b,c的值分別為1, -5, 6。

讓我們取a,c的乘積，即6。現在，寫下6的因數。

6的因數 = 1, 2, 3, 6

現在，尋找兩個因數，它們的乘積等於6，和等於-5。

-2, -3滿足條件。

現在，使用這個和來拆分二次方程中的中間項

$$\mathrm{x^2-5x+6=0}$$

$$\mathrm{x^2-2x-3x+6=0}$$

現在，提取公因式

$$\mathrm{x(x-2)-3(x-2)=0}$$

再次提取公因式，將上述方程寫成兩個因式的乘積。

$$\mathrm{(x-2)(x-3)=0}$$

這兩個是二次方程的因式，分別解線性方程以得到二次方程的根。

$$\mathrm{x-2=0; x-3=0}$$

x=2,3是方程的根。

配方法

考慮二次方程f(x)=ax²+bx+c=0，其中x是未知變數，a≠0，且a,b,c∈R。現在，為了使用配方法求解二次方程的根，將c移到方程的另一邊。

$$\mathrm{ax^2+bx=-c}$$

現在確保x^2的係數是1。如果a≠1，則將方程的兩邊都除以$\mathrm{\frac{1}{a}}$。

$$\mathrm{x^2+\frac{b}{a} x=-\frac{c}{a}}$$

現在，在方程的兩邊都加上$\mathrm{(\frac{b}{2a})^2 }$，以在左邊構成一個完全平方，如果a=1，則加上$\mathrm{(\frac{b}{2})^2 }$

$$\mathrm{x^2+\frac{b}{a}x+ (\frac{b}{2a} )^2=-\frac{c}{a}+ (\frac{b}{2a})^2}$$

$$\mathrm{(x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+ (\frac{b}{2a})^2}$$

現在，對方程的兩邊都開平方，然後求解即可得到二次方程的根。

配方法的例子

1) 使用配方法求解二次方程x²+6x-7=0？

將常數項移到方程的另一邊，

$$\mathrm{x^2+6x=7}$$

x²的係數是1，所以在方程的兩邊都加上$\mathrm{(\frac{b}{2})^2}$，以在左邊構成一個完全平方。

在方程的兩邊都加上(3)²，

$$\mathrm{x^2+6x+9=7+9=16}$$

$$\mathrm{(x+3)^2=16}$$

現在，兩邊開平方，得到：

$$\mathrm{x+3=±4}$$

x+3=4 和 x+3=-4

x=1,-7是方程的根。

2) 使用配方法求解二次方程2x²+5x+3=0？

將常數項移到方程的另一邊，

$$\mathrm{2x^2+5x=-3}$$

x²的係數是2，所以將方程的兩邊都除以$\mathrm{\frac{1}{2}}$。

$$\mathrm{x^2+\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}}$$

在方程的兩邊都加上$\mathrm{(\frac{b}{2a})^2}$，以在左邊構成一個完全平方。

在方程的兩邊都加上$\mathrm{(\frac{5}{4})^2}$，

$$\mathrm{x^2+\frac{5}{2} x+(\frac{5}{4})^2=-\frac{3}{2}+(\frac{5}{4})^2}$$

現在，兩邊開平方，得到：

$$\mathrm{(x+\frac{5}{4})^2=\frac{1}{16}}$$

$$\mathrm{x+\frac{5}{4}=±\frac{1}{4}}$$

x=-1,$\mathrm{-\frac{3}{2}}$是方程的根。

二次公式

考慮二次方程f(x)=ax²+bx+c=0，其中x是未知變數，a≠0，且a,b,c∈R。現在，使用二次公式求解二次方程的根為：

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，將a,b,c的相應值代入公式。

二次公式的例子

1) 使用二次公式求解二次方程x^2+4x+1=0？

a,b,c的值分別為1, 4, 1。

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，將a,b,c的相應值代入公式以得到方程的根。

$$\mathrm{x=\frac{-4±\sqrt{4^2-4}}{2}=\frac{-4±√12}{2}=-2±√3}$$

-2+√3,-2-√3是方程的根。

2) 使用二次公式求解二次方程x²+3x+6=0？

a,b,c的值分別為1, 3, 6。

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，將a,b,c的相應值代入公式以得到方程的根。

$$\mathrm{x=\frac{-3±\sqrt{3^2-24}}{2}=\frac{-3±\sqrt{-15}}{2}=\frac{-3±i\sqrt{15}}{2}}$$

$\mathrm{\frac{-3+i\sqrt{15}}{2},\frac{-3-i\sqrt{15}}{2}}$是方程的根。

結論

在本教程中，我們學習了二次方程、求解二次方程的方法、用拆分中間項法分解因式及其示例、配方法及其示例、二次公式及其示例。

常見問題

1. 二次方程2x²+3x+4=0中最高次項係數的值是多少？

最高次項係數的值是2。

2. 二次方程ax²+bx+c=0的二次公式是什麼？

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，將a,b,c的相應值代入公式。

3. 求解二次方程的方法有哪些？

• 用拆分中間項法分解因式

• 配方法

• 二次公式

4. 二次方程x²-2x+5=0中常數項的值是多少？

常數項的值等於5。

5. 如果多項式方程中x²的係數等於零會怎樣？

那麼這個多項式方程就不是二次方程。